2008年高考复习求解圆锥曲线问题易做易错题选
圆锥曲线是中学数学教学的重点内容之一，也是历届高考命题的热点，求解圆锥曲线问题时，学生应注意避免以下常见问题。
一、概念不清
例1 双曲线
上的点P到点(5,0)的距离为8.5，求点P到点(
)的距离。
错解 设双曲线的两个焦点分别为
,
,
由双曲线定义知
所以
或
剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,
所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求
例2 已知圆
，圆
都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解：圆O2：
即为
所以圆O2的圆心为
,半径
,
而圆的圆心为
,半径
,
设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r
则
且
所以
即
化简得
即
为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析：上述解法将
=3看成
,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。
事实上，|
表示动点M到定点
及
的距离差为一常数3。
且
,点M的轨迹为双曲线右支，方程为
二、忽视隐含条件
例3 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点
距离的最值。
错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则
即
两边平方、整理得
=1 （1）
由此式可得：
因为
所以
剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了
这一取值范围，由以上解题过程知，
的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决
即：当
时，
三、忽视元素之间的制约关系
例4 已知双曲线
的离心率e=
, 过点A（
）和B(a,0)的直线与原点的距离为
,直线y=kx+m
与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。
错解 由已知，有
解之得：
所以双曲线方程为
把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：
所以
(1)
设CD中点为
，
则AP
CD，且易知：
所以
(2)
将(2)式代入(1)式得
解得m>4或
故所求m的范围是
剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将
代入(1) 式时，m受k的制约。
因为
所以
故所求m的范围应为
m>4或
四、没有分类意识
例5 椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率
,已知点P（
）到椭圆上的点最远距离是
，求这个椭圆的方程。
错解 设所求椭圆方程为
因为
所以a=2b
于是椭圆方程为
设椭圆上点M（x,y）到点P
的距离为d,
则：
所以当
时，
有
所以所求椭圆方程为
剖析 由椭圆方程
得
由(1)式知
是y的二次函数，
其对称轴为
上述错解在于没有就对称轴在区间
内或外进行分类，
其正确应对f(y)=
的最值情况进行讨论：
（1）当
，即
时
=7
,方程为
（2）当
,
即
时，
，与矛盾。
综上所述，所求椭圆方程为
五、忽视判别式法。
例 6 已知双曲线
,问过点A（1，1）能否作直线
,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线存在，并设
、
则
（1）
得
因为A（1，1）为线段PQ的中点，
所以
将(4)、(5)代入（3）得
若
，则直线的斜率
所以符合题设条件的直线存在。
其方程为
剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。
应在上述解题的基础上，再由
得
根据
,说明所求直线不存在。
六、忽视斜率不存在的情况。
例7 已知椭圆
，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求
是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。
错解 设A、B两点坐标分别为
、
因为
所以
又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5
所以
即
同理
所以
设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得
所以
代入(1)式得
所以
所以
|有最小值3,无最大值。
剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有
所以有最小值为 3，最大值为25/4