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14. 解：(1)由
消去y得：
①
设
，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
1°△＝0得：
，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f (a)f
(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．
f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．
综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；
当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分(2)△OAP的面积
∵0＜a＜
，故－a＜m≤a时，0＜
＜a，
由唯一性得 
显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝
取值最大，此时
，∴
．
当时，xp＝－a2，yp＝
，此时
．
下面比较
与
的大小：
令
，得
故当0＜a≤
时，≤，此时
．
当
时，
，此时
．……… 20分 - 题目来源：08届高考数学解析几何综合练习二