18．过抛物线上的一点A(1,1)作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程. 08届高考数学解析几何综合练习答案

1.C　 2.B　 3.B　 4.B　 5.B　 6.A　 7.C　　 8.90º　 9.

10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|+|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而22+42＝(2)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．

11. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为 S(a，3－a)，则圆S的方程为： 　　　　 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得　 a=1或a=－7。 　　　　 即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P(1，0)为所求，所以点P的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得 令正方形边长为则① 在上任取一点(6，,5)，它到直线的距离为②. ①、②联立解得或

14. 解：(1)由　 消去y得：　 ① 　　 设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 　　 只需讨论以下三种情况： 　　 1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合； 　　 2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a； 　　 3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． 　　 f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． 　　 综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a； 　　　　　　　 当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………　 10分 (2)△OAP的面积 　　 ∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a， 　　 由唯一性得　 　　 显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴． 　　 当时，xp＝－a2，yp＝，此时． 　　 下面比较与的大小： 　　 令，得 　　 故当0＜a≤时，≤，此时． 　　　 当时，，此时．………　 20分

15.解：设点坐标为，点坐标为． 显然，故 由于，所以 从而，消去，注意到得： 由解得：或． 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．

16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜　　　　　　　 5分 　∴ 　即　　　 10分 　　 ∴ 　可得： 　∴≤1　(此不等式也可直接由柯西不等式得到)　　　　　　　　　　　　 15分 　平方后可化为　≥1， 　即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分．　　　　　　　　 20分

17. 解：(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为 圆S：　　　　　　　　　　　 ......5分 (Ⅱ)由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：　 　　　　　　　　　　 ① 与双曲线T：　　　　　　　 ② 因为B(－1，0)和C(1，0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 　　　　　　　 ③ (i)当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 (ii)当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 　　　　 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ......15分 　　　　 情况2：直线L不经过点B和C(即)，因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是　　　　　　　 ④ 或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得。 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。　　　　　　　　 ......20分

18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. ………………5分 设、、、，则由知， 得 ∴EF所在直线方程为： 化简得…①…………10分 当时，直线CD的方程为：…② 联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：………15分 当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴ ∴所求轨迹方程为………………………………………………20分 解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. ……5分 令则因为CD为的中线， 而是的重心. ………………………………………………………………………10分 设因点C异于A，则故重心P的坐标为 消去得 故所求轨迹方程为………………………………………………20分