35．(江苏•理•18题)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。 (I)求证：四点共面；(4分) (II)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； (Ⅲ)用表示截面和面所成锐二面角大小，求。

36．(江西•理•20题)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。 (I)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； (II)求二面角B-AC-A1的大小； (Ⅲ)求此几何体的体积； 解法一： (1)证明：作交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面． (2)如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． (3)因为，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． 解法二： (1)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，因为是的中点，所以， ． 易知，是平面的一个法向量． 因为，平面，所以平面． (2)，， 设是平面的一个法向量，则 则，得： 取，． 显然，为平面的一个法向量． 则，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角的大小是． (3)同解法一．

37．(辽宁•理•18题)如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。 (I)证明：； (II)求的长，并求点到平面的距离。

38．(宁夏•理•19题)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． (Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值． 证明： (Ⅰ)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． (Ⅱ)解法一： 取中点，连结，由(Ⅰ)知，得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又，故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为．

39．(陕西•理•19题)如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6。 (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小； 解法一：(Ⅰ)平面，平面．． 又，． ，，，即． 又．平面． (Ⅱ)过作，垂足为，连接． 平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 又， ， ， 又，，． 由得． 在中，，． 二面角的大小为． 解法二：(Ⅰ)如图，建立坐标系， 则，，，，， ，，， ，．，， 又，平面． (Ⅱ)设平面的法向量为， 则，， 又，， 解得 平面的法向量取为， ，． 二面角的大小为．

41．(四川•理•19题)如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. (Ⅰ)求证：平面⊥平面； (Ⅱ)求二面角的大小； (Ⅲ)求三棱锥的体积； 分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： (Ⅰ)∵ ∴， 又∵ ∴ (Ⅱ)取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，为正方形 ∴ 解法二：(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在平面内，过作，建立空间直角坐标系(如图) 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴

42．(天津•理•19题)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． (Ⅰ)证明； (Ⅱ)证明平面； (Ⅲ)求二面角的大小； 分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． 解答：(Ⅰ)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． (Ⅱ)证明：由，，可得． 是的中点，． 由(Ⅰ)知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． (Ⅲ)解法一：过点作，垂足为，连结．则(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则．在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是．

43．(浙江•理•19题)在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。 (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)求CM与平面CDE所成的角； 分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 解答： 方法一： (I)证明：因为，是的中点， 所以． 又平面， 所以． (II)解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，． 是直线和平面所成的角． 因为平面， 所以， 又因为平面， 所以， 则平面，因此． 设，， 在直角梯形中， ，是的中点， 所以，，， 得是直角三角形，其中， 所以． 在中，， 所以， 故与平面所成的角是． 方法二： 如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，． (I)证明：因为，， 所以， 故． (II)解：设向量与平面垂直，则，， 即，． 因为，， 所以，， 即， ， 直线与平面所成的角是与夹角的余角， 所以， 因此直线与平面所成的角是．