32．(广东•理•19题)如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。 (Ⅰ)求V(x)的表达式； (Ⅱ)当x为何值时，V(x)取得最大值？ (Ⅲ)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；

33．(湖北•理•18题)如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。 (Ⅰ)求证：平面VAB⊥平面VCD ； (Ⅱ)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围； 分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解答：解法1：(Ⅰ)，是等腰三角形，又是的中点， ，又底面．．于是平面． 又平面，平面平面． (Ⅱ) 过点在平面内作于，则由(Ⅰ)知平面． 连接，于是就是直线与平面所成的角． 在中，； 设，在中，，． ， ，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法2：(Ⅰ)以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 于是，，，． 从而，即． 同理， 即．又，平面． 又平面． 平面平面． (Ⅱ)设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为， 则由． 得 可取，又， 于是， ，，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法3：(Ⅰ)以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，． 从而，即． 同理，即． 又，平面． 又平面， 平面平面． (Ⅱ)设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为， 则由，得 可取，又， 于是， ，，． 又，， 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设． (Ⅰ)， ， 即． ， 即． 又，平面． 又平面，平面平面． (Ⅱ)设直线与平面所成的角为， 设是平面的一个非零法向量， 则取，得． 可取，又， 于是， ，关于递增．，． 即直线与平面所成角的取值范围为．

34．(湖南•理•18题)如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2．　 (I)证明：平面平面； (II)当，，时，求直线和平面所成的角； 解：解法一：(I)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面． (II)过点作于点，连结． 由(I)的结论可知，平面， 所以是和平面所成的角． 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，故． 因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形． 由题设，，，则．所以，， ，． 因为平面，，所以平面，从而． 故，． 又，由得． 故． 即直线与平面所成的角是． 解法二：(I)因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面． (II)由(I)可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)， 由题设，，，则， ，，相关各点的坐标分别是， ，，． 所以，． 设是平面的一个法向量， 由得故可取． 过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上． 因为，所以，． 设()，由，解得， 所以． 设和平面所成的角是，则 ． 故直线与平面所成的角是．

35．(江苏•理•18题)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。 (I)求证：四点共面；(4分) (II)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； (Ⅲ)用表示截面和面所成锐二面角大小，求。

36．(江西•理•20题)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。 (I)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； (II)求二面角B-AC-A1的大小； (Ⅲ)求此几何体的体积； 解法一： (1)证明：作交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面． (2)如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． (3)因为，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． 解法二： (1)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，因为是的中点，所以， ． 易知，是平面的一个法向量． 因为，平面，所以平面． (2)，， 设是平面的一个法向量，则 则，得： 取，． 显然，为平面的一个法向量． 则，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角的大小是． (3)同解法一．

38．(宁夏•理•19题)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． (Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值． 证明： (Ⅰ)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． (Ⅱ)解法一： 取中点，连结，由(Ⅰ)知，得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又，故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为．

39．(陕西•理•19题)如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6。 (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小； 解法一：(Ⅰ)平面，平面．． 又，． ，，，即． 又．平面． (Ⅱ)过作，垂足为，连接． 平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 又， ， ， 又，，． 由得． 在中，，． 二面角的大小为． 解法二：(Ⅰ)如图，建立坐标系， 则，，，，， ，，， ，．，， 又，平面． (Ⅱ)设平面的法向量为， 则，， 又，， 解得 平面的法向量取为， ，． 二面角的大小为．

40．(上海•理•19题)体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

41．(四川•理•19题)如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. (Ⅰ)求证：平面⊥平面； (Ⅱ)求二面角的大小； (Ⅲ)求三棱锥的体积； 分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： (Ⅰ)∵ ∴， 又∵ ∴ (Ⅱ)取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，为正方形 ∴ 解法二：(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在平面内，过作，建立空间直角坐标系(如图) 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴

42．(天津•理•19题)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． (Ⅰ)证明； (Ⅱ)证明平面； (Ⅲ)求二面角的大小； 分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． 解答：(Ⅰ)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． (Ⅱ)证明：由，，可得． 是的中点，． 由(Ⅰ)知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． (Ⅲ)解法一：过点作，垂足为，连结．则(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则．在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是．