38．(宁夏•理•19题)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． (Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值． 证明： (Ⅰ)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． (Ⅱ)解法一： 取中点，连结，由(Ⅰ)知，得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又，故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为．

39．(陕西•理•19题)如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6。 (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小； 解法一：(Ⅰ)平面，平面．． 又，． ，，，即． 又．平面． (Ⅱ)过作，垂足为，连接． 平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 又， ， ， 又，，． 由得． 在中，，． 二面角的大小为． 解法二：(Ⅰ)如图，建立坐标系， 则，，，，， ，，， ，．，， 又，平面． (Ⅱ)设平面的法向量为， 则，， 又，， 解得 平面的法向量取为， ，． 二面角的大小为．

40．(上海•理•19题)体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

41．(四川•理•19题)如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. (Ⅰ)求证：平面⊥平面； (Ⅱ)求二面角的大小； (Ⅲ)求三棱锥的体积； 分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： (Ⅰ)∵ ∴， 又∵ ∴ (Ⅱ)取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，为正方形 ∴ 解法二：(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在平面内，过作，建立空间直角坐标系(如图) 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 (Ⅲ)取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴

42．(天津•理•19题)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． (Ⅰ)证明； (Ⅱ)证明平面； (Ⅲ)求二面角的大小； 分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． 解答：(Ⅰ)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． (Ⅱ)证明：由，，可得． 是的中点，． 由(Ⅰ)知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． (Ⅲ)解法一：过点作，垂足为，连结．则(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则．在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是．