1、函数是减函数的区间为(　 )

(A)(B)(C)(D)

2. 　在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数(　 　)

　　　 A．3　 　B．2　　 C．1　 D．0

3． 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)³0，则必有(　 )

A.f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)

C.　 f(0)+f(2)³2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)

4.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围( 　)

A．　B．　 C． 　　D．

5．与直线的平行的抛物线的切线方程是　　　　 (　　 )

　　 A．　　　 B．　 C．　 D．

6．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，当时，且则不等式的解集是　　 (　　 )

　　 A．　B．　　　　　

　　 C．　D．

7．函数f(x)=x(x－1)(x－2).….(x－100)在处的导数值为　　　　　 (　 )

A.0　　　 B.　 C.200　　　　　 .100！

8．过点(－1，0)作抛物线的切线，则其中一条切线为　 (　 )

　(A)　 (B)　 (C)　　 (D)

小题答案：

9．设函数，(、、　是两两不等的常数)，则　　　 ．0

10.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.

1.已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=－x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

　 (Ⅰ)a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

　 (Ⅱ)若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分

　 (Ⅰ)解：函数y=x²+2x的导数y′=2x+2,曲线C₁在点P(x₁,x+2x₁)的切线方程是：

函数y=－x²+a的导数y′=－2x, 曲线C₂ 在点Q(x₂,－x+a)的切线方程是

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

消去x₂得方程　 2x+2x₂+1+a=0.

若判别式△=4－4×2(1+a)=0时，即a=－时解得x₁=－，此时点P与Q重合.

即当a=－时C₁和C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为　 y=x－　.

　 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知.当a<－时C₁和C₂有两条公切线

设一条公切线上切点为：P(x₁,y₁), 　 Q(x₂ , y₂ ).

其中P在C₁上，Q在C₂上，则有x₁+x₂=－1,

y₁+y₂=x+2x₁+(－x+a)= x+2x₁－(x₁+1)²+a=－1+a .

线段PQ的中点为同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.

2．已知f(x)=x²+ax+b, g(x)=x²+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,则求g(4)。

解：　 　

∵f(2x+1)=4g(x)　 　∴　

　∴　

又 f(5)=30=25+10+b　 ∴b=-5　 d=　 　∴g(x)=x²+2x　 　∴g(4)=

3．已知向量=(1，0)，=(0，1)，函数的图象在轴上的截距为1，在=2处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值。

(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)求的极值。

4.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数　(Ⅰ)求的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.

解：(I)=3－2－1　　 若=0，则==－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，+∞)
	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

∴的极大值是，极小值是

(II)函数，由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：

当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。

6．(湖南卷)设，点P(，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.；(Ⅰ)用表示a，b，c；

(Ⅱ)若函数在(－1，3)上单调递减，求的取值范围.

解：(I)因为函数，的图象都过点(，0)，所以，

　 　 即.因为所以.　

　　　 又因为，在点(，0)处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　 因此故，，

(II)解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在(－1，3)上单调递减，则

所以

又当时，函数在(－1，3)上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数在(－1，3)上单调递减，且是(－1，3)

上的抛物线，

　　　 所以　 即解得

　　　 所以的取值范围为

7.(安徽卷)设函数，已知是奇函数。

(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的单调区间与极值。

解析：(Ⅰ)∵，∴。

从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；

在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。

8．(北京卷)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：(Ⅰ)的值； (Ⅱ)的值.

解析：解法一： (Ⅰ)由图象可知，在(－∞，1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.

(Ⅱ)由

得解得

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设又

所以　

由,即得,　 所以. 9．(湖南卷)已知函数.　　 (I)讨论函数的单调性；　　　 (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

解　(Ⅰ)由题设知.令.

当(i)a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

(i i)当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.即

.所以. 故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].

10．(全国卷I)设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。

解:f'(x)=3x²－2ax+(a²－1),其判别式△=4a²－12a²+12=12－8a².

(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(－∞,),或x∈(,+∞)时,

f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数.所以a=±.

(ⅱ)若△=12－8a²<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,

所以a²>,即a∈(－∞,－)∪(,+∞)

(ⅲ)若△12－8a²>0,即－<a<,令f'(x)=0,解得x₁=,x₂=.

当x∈(－∞,x₁),或x∈(x₂,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x₁,x₂)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x₁≥0且x₂≤1.由x₁≥0得a≥,解得1≤a<

由x₂≤1得≤3－a,解得－<a<,从而a∈[1,)

综上,a的取值范围为(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞).

11．(全国II)设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　 ……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是(－∞，1]．　　 ……12分

解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立

即为g(x)≥g(0)成立．　……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　 　……6分

当x＞ e^a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

当－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，　　 ……9分

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．