Question

3．据媒体报道，美国国家航空航天局利用两架望远镜联合观测，首次精确测量出“开普勒-93b”这颗被称为“超级地球”系外行星的直径，其直径为地球直径的1.5倍．质量为地球质量的3.8倍．（结果保留两位有效数字）
（1）质量为1kg的质点，放在“开普勒-93b”行星表面变到的万有引力是放在地球表面受到的万有引力的多少倍？
（2）紧贴“开普勒-93b”行星做匀速圆周运动的卫星的角速度是紧贴地球表面绕地球做匀速圆周运动的卫星的角速度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力定律求出质量为1kg的质点，放在“开普勒-93b”行星表面变到的万有引力和放在地球表面受到的万有引力，即可求解；
（2）根据万有引力提供向心力分别求出紧贴“开普勒-93b”行星做匀速圆周运动的卫星的角速度和紧贴地球表面绕地球做匀速圆周运动的卫星的角速度，即可求解；

解答 解：（1）质量为1kg的质点放在“开普勒-93b”行星表面变到的万有引力${F}_{1}^{\;}$，有：
${F}_{1}^{\;}=G\frac{{M}_{开}^{\;}m}{{R}_{开}^{2}}$…①
质量为1kg的质点放在地球表面变到的万有引力${F}_{2}^{\;}$，有：
${F}_{2}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$…②
得：$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}=\frac{{M}_{开}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}•\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{开}^{2}}=\frac{3.8}{1}×\frac{{1}_{\;}^{2}}{1．{5}_{\;}^{2}}$=1.7
（2）设紧贴“开普勒-93b”行星做匀速圆周运动的卫星的角速度${ω}_{1}^{\;}$，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{开}^{\;}m}{{R}_{开}^{2}}=m{ω}_{1}^{2}{R}_{开}^{\;}$
解得：${ω}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{开}^{\;}}{{R}_{开}^{3}}}$…③
设紧贴地球做匀速圆周运动的卫星的角速度${ω}_{2}^{\;}$，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m{ω}_{2}^{2}{R}_{地}^{\;}$
解得：${ω}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{3}}}$…④
联立③④得：$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{\;}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{开}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}•\frac{{R}_{地}^{3}}{{R}_{开}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{3.8}{1}×\frac{1}{1．{5}_{\;}^{3}}}$=1.1
答：（1）质量为1kg的质点，放在“开普勒-93b”行星表面变到的万有引力是放在地球表面受到的万有引力的1.7倍；
（2）紧贴“开普勒-93b”行星做匀速圆周运动的卫星的角速度是紧贴地球表面绕地球做匀速圆周运动的卫星的角速度的1.1倍

点评 本题卫星绕行星的类型，建立模型，根据万有引力提供向心力，万有引力近似等于重力进行求解