Question

12．两间距为L=0.9m的足够长的金属导轨与水平方向成θ=37°角，空间存在与导轨平面垂直向上的匀强磁场．现在导轨的上下两端分别接有阻值为R₁=R₂=10Ω的电阻，如图所示，S闭合时，将一质量为m=0.75kg，电阻为r=1Ω的导体棒由静止释放，导体棒与导轨间的接触始终良好，导体棒匀速运动时的速度为v=1m/s，电路消耗的电功率与重力功率的比值为$\frac{3}{4}$．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）磁感应强度的大小；
（2）S断开状态下，设导体棒从静止开始运动一段距离时，恰好达到最大速度，且R₂产生热量Q₂=5J，求棒运动的距离x．

Answer 1

分析 （1）当导体棒做匀速直线运动时达到稳定状态，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和整个电路消耗的电功率与重力功率的关系，即可求解匀强磁场磁感应强度B；
（2）棒稳定时受力平衡，根据平衡条件求解动摩擦因数μ；S断开瞬间，电路中总电阻（R₂+r）比原来大，使安培力减小，棒受到合力沿轨道向下，会继续加速，直至最终受力平衡，此后棒匀速运动，根据平衡条件和法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式结合求解最大速率，再由动能定理和功能关系求解x．

解答 解：（1）S闭合时，电路总电阻R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$+r
稳定后导体棒以速率v匀速下滑，感应电动势 E=BLv
棒中电流 I=$\frac{E}{R}$
电路总电功率 P_总=I²R
棒的重力功率 P_G=mgvsin θ
据题有 P_总=$\frac{3}{4}$P_G
联立各式代入数据解得 B=$\frac{1}{2L}$$\sqrt{\frac{3mgRsinθ}{v}}$=5T．
（2）S断开前，当棒匀速运动时，有：mgsin θ-BIL-μmgcos θ=0
可得μ=0.1875，f=μmgcos θ=1.125 N
设S断开达平衡状态时的速度为v_m，棒受安培力为F′_安；
则有mgsin θ-f-F′_安=0
得 F′_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{2}+r}$
从静止到运动x之间用动能定理：
（mgsin θ-f）x-W_B=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{m}^{2}$
又W_B=$\frac{{R}_{2}+r}{{R}_{2}}$•Q₂
联立解得 x=2 m．
答：
（1）磁感应强度的大小是5T；
（2）棒运动的距离x是2m．

点评 本题关键要正确判断出棒稳定时的状态：匀速直线运动，从功率和力两个角度进行分析和列式．运用功率关系，要根据能量守恒如何转化的入手，确定功率关系．