Question

7．如图所示，半径为R 的半球固定在水平面上，有一质量为m 的小球静止在半球面的顶端，受到扰动后，无初速度沿此光滑半球面滑下，重力加速度为g．则下列说法正确的是（　　）

• A． 小球离开半球面之前，速率变化越来越快
• B． 小球与半球面分离时，小球离地面高度为$\frac{2}{3}$R
• C． 小球落地时速度大小为$\sqrt{2gR}$
• D． 小球落地时重力的功率为mg$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求得沿切线方向的加速度大小，小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解落地速度；小球沿着光滑半球运动过程中，受重力和支持力，合力沿着半径方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律和动能定理分别列式，恰好离开半球时，弹力为零．

解答 解：A、对小球受力分析，沿圆弧切线方向的加速度a=$\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，其中θ为半径与竖直方向的夹角，θ逐渐增大，故加速度逐渐增大，故速率变化越来越快，故A正确；
B、设小球下滑到B点，与竖直夹角为θ 时，刚好离开半球面，根据牛顿第二定律，有：
$mgcosθ-{N}_{B}=\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
根据动能定理，有：
 $mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
当 N_B=0时，得：cosθ=$\frac{2}{3}$
落地时的高度h=Rcos$θ=\frac{2}{3}R$，故B正确
C、小球从A点下落到达地面的过程中，由机械能守恒定律，有：$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=\sqrt{2gR}$，故C正确
D、落地时速度并不是竖直向下，故P=mg${v}_{y}＜mg\sqrt{2gR}$，故D错误
故选：ABC

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，关键是找到向心力来源，结合机械能守恒定律、动能定理和牛顿第二定律列式求解，不难．