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2．2017年4月17日在北京举行的2017年“中国航天日”新闻发布会上，国防科工局总工程师、国家航天局秘书长田玉龙透露，今年年底将实施探月工程嫦娥五号发射任务，完成我国首次从月球采样返回的重大使命，届时该运载任务将由长征五号火箭承担．为了实现这一计划，先要登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面低轨道．假设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动，已知该飞船质量为m，已知该飞船距月球表面的高度为h．该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气，喷出气体相对飞船的速度为u，经过一段时间后飞船运动到靠近月球表面的B点，A、B两点的连线过月球球心．已知飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值．已知月球半径为R，已知月球表面的重力加速度为g，已知登月飞船在月球上空的万有引力势能为Ep=$\frac{mg{R}^{2}}{R+h}$（以无穷远处引力势能为零）．求：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是多少．

分析 （1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，在月球表面上，物体的重力近似等于万有引力，列式即可求解．
（2）飞船从喷气后一直到B点满足机械能守恒定律，列出A到B机械能守恒表达式．飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值，列式求出飞船喷气后的速度，再根据飞船喷气过程中动量守恒求解即可

解答 解：（1）设飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的速度为v0，设月球的质量为M，万有引力提供向心力
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R+h}$
月球上满足 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得：v0=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$
（2）飞船喷气后的质量设为m′，速度为vA，到达B点速度为vB，飞船从喷气后一直到B点满足机械能守恒定律：
  $\frac{1}{2}$m′vA2-m′$\frac{g{R}^{2}}{R+h}$=$\frac{1}{2}$m′vB2-$\frac{g{R}^{2}m′}{R}$
又因为飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值，有：
  vA（R+h）=vBR
以上两式消去vB，可得：vA=$\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}$
飞船喷气过程中动量守恒，以v0方向为正方向，则有：mv0=（m-△m）vA+△m（vA+u）
解得：△m=$\frac{m（{v}_{0}-{v}_{A}）}{u}$=$\frac{m（\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}-\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}）}{u}$
答：（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是$\frac{m（\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}-\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}）}{u}$．

点评 本题要求掌握万有引力提供向心力及万有引力等于重力这一理论，并能正确选取恰当的向心力的表达式，注意飞船喷气过程中动量守恒，难度较大．

练习册系列答案
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