Question

1．如图所示，某种透明材料做成的三棱镜，其横截面是边长为a的等边三角形，现用一束宽度为a的单色平行光束，以垂直于BC面的方向正好入射到该三棱镜的AB及AC面上，结果所有从AB、AC面入射的光线进入后恰好全部直接到达BC面．求：
（i）该材料对此平行光束的折射率；
（ii）这些直接到达BC面的光线从BC面折射而出后，如果照射到一块平行于BC面的屏上形成光斑，则当屏到BC面的距离d满足什么条件时，此光斑分为两条？

Answer 1

分析 （i）先据题意知从AB、AC面入射的光线进入后恰好全部直接到达BC面，说明从AB面进入三棱镜的折射光线与AC平行，画出光路图，根据对称性和几何关系得到入射角和折射角，即可求得折射率．
（ii）画出光路图，如图O为BC中点，在B点附近折射的光线从BC射出后与直线AO交于D，可看出只要光屏放得比D点远，则光斑会分成两块，由几何知识求解．

解答 解：（i）由于对称性，我们考虑从AB面入射的光线，这些光线在棱镜中是平行于AC面的，由对称性和几何知识可得，光线进入AB面时的入射角α和折射角β分别为：
 α=60°，β=30°                                
则材料的折射率为 n=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\sqrt{3}$
（ii）如图O为BC中点，紧靠B点从BC面射出的光线与直线AO交于D，由图可知：当光屏放在D点右侧时，根据对称性，光屏上形成两条光斑．      
由几何关系有 OD=$\frac{a}{2}$tanα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a              
所以当光屏到BC距离d超过$\frac{\sqrt{3}}{6}$a时，光斑分为两条．   
答：
（i）该材料对此平行光束的折射率为$\sqrt{3}$；
（ii）当光屏到BC距离d超过$\frac{\sqrt{3}}{6}$a时，光斑分为两条．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是解题的关键之处，再运用几何知识求出入射角和折射角，即能解决此类问题．