Question

13．据最新消息报到，“嫦娥四号”将于2020年前发射，发射成功后“嫦娥四号”探测器将在环月运行轨道上运动，可视为匀速圆周运动．已知轨道半径为r，运行周期为T，探测器质量为m，引力常量为G，探测器环月运行时只考虑月球的引力提供向心力，求：
（1）探测器绕月运行的线速度的大小和向心加速度的大小
（2）月球的质量M．

Answer 1

分析 （1）根据线速度与周期的关系求解线速度的大小；
根据向心加速度与周期半径的关系求解向心加速度的大小；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求解月球的质量M．

解答 解：（1）已知轨道半径为r，运行周期为T，根据圆周运动线速度与周期的关系知探测器绕月运行的速度的大小为：
v=$\frac{2πr}{T}$
（2）已知轨道半径为r，运行周期为T，根据向心加速度与周期的关系知探测器绕月运行的加速度的大小为：
a=$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
（3）设月球质量为M，嫦娥三号探测器的质量为m，探测器运行时月球对它的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
可得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}_{\;}^{3}}{{GT}_{\;}^{2}}$
答：（1）探测器绕月运行的线速度的大小是$\frac{2πr}{T}$，向心加速度的大小是$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$；
（2）月球的质量是$\frac{{{4π}^{2}r}_{\;}^{3}}{{GT}_{\;}^{2}}$．

点评 本题要求掌握线速度与周期的关系、向心加速度与周期的关系，知道万有引力提供向心力这个关系，并且能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式．