Question

【题目】如图所示，质量M=0.2 kg、长L=1 m的长木板放在地面上，质量m=0.8 kg的小滑块在长木板左端，竖直嵌有四分之三光滑圆弧轨道的底座固定在地面上，圆弧轨道最低点P的切线水平且与长木板上表面相平，长木板右端与底座左端相距x=1m。现用水平向右外力F=6 N作用在小滑块上，小滑块到达P点后撤去外力F，小滑块沿着圆弧轨道运动。长木板与底座相碰时，立即粘在底座上。己知滑块与长木板、长木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1=0.4和μ2=0.15，重力加速度g=10m/s2。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

(1)在长木板与底座相碰前，试判断长木板与小滑块是否发生相对滑动，并求出长木板和小滑块加速度的大小；

(2)小滑块到达P点时速度的大小；

(3)若要使小滑块沿圆弧轨道上滑过程中不脱离轨道，竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件？

Answer 1

【答案】(1)不发生相对滑动，均为a=4.5m/s2； (2) 4m/s；(3) 0＜R≤0.32 m或R≥0.8 m。

【解析】

(1)在长木板与底座相碰前，假设M与m相对静止，一起加速，设加速度为a，小滑块与长木板间静摩擦力为f1，则

解得

即 ，假设成立，不发生相对滑动；

(2)设长木板撞击底座时，长木板和小滑块共同速度为v1，之后，小滑块在长木板上运动，设加速度为a1，到达P点的速度为v2，则

解得

(3)情况一：小滑块滑上轨道从圆弧轨道的Q点离开，即能够达到圆弧轨道最高点，设圆弧轨道半径最大为Rm，小滑块在最高点的速度大小为vm，则

解得

情况二：小球上滑至与圆心等高处时，速度减为零，然后滑回最低点。则由动能定理有：

解得：

故要使小滑块不脱离轨道，竖直圆周轨道半径应该满足或。