Question

3．设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端，利用同步卫星将一电磁波信号由A点传到B点，问：
（1）至少要用几颗同步卫星？
（2）这几颗卫星间的最近距离是多少？
（3）当这几颗卫星间的最近距离时，用这几颗卫星把电磁波信号由A点传到B点需要经历多长时间？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对电磁波的折射．设电磁波在空气中的传播速度为c．

Answer 1

分析 作出电磁波传播的路线图，确定需要几颗同步位置，结合几何关系求出同步卫星间的最近距离．根据万有引力提供向心力以及万有引力等于重力求出同步卫星的轨道半径，根据几何关系求出P₁A和P₂B的距离，从而得出A传播到B的路程，求出传播的时间．

解答 解：（1）由图可明显地看出，为实现上述目的，至少需要两颗同步卫星，其位置在P₁、P₂，且这两颗同步卫星的最近距离是2R．（这两颗卫星分别位于图中P₁和P₂）
（2）这两颗卫星间的最近距离是2R；
（3）设同步卫星的轨道半径为r=OP₁，则据万有引力定律和牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr\frac{{4{π^2}}}{T^2}$，
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$
解得：r=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
用这两颗卫星把电磁波信号由A点传到B点需要经历的时间为：
$t=\frac{{2R+2{P_1}B}}{c}$
将r代入上式得：$t=\frac{2R}{c}+\frac{{2\sqrt{\root{3}{{\frac{{{g^2}{R^4}{T^4}}}{{16{π^4}}}}}-{R^2}}}}{c}$．
答：（1）至少需要两颗同步卫星；
（2）同步卫星间的最近距离为2R；
（3）把电磁波信号由A传播到B需要的时间是$\frac{2R}{c}+\frac{2\sqrt{\root{3}{\frac{{g}^{2}{R}^{4}{T}^{4}}{16{π}^{4}}-{R}^{2}}}}{c}$．

点评 解决本题的关键知道同步卫星的特点，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用