Question

7．如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A．一质量m=0.10kg的小球，以初速度v₀=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s²的匀减速直线运动，求：
（1）小球若从距A点4.0m的C点出发，落地点离A点多远？
（2）要求小球能进入圆环轨道但不脱轨，小球在地面上的出发点离A点的距离应满足什么条件？（取重力加速度g=10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）要求AC之间的距离应该首先判定物体能否到达B点，故应该先求出物体到达B点的最小速度，然后根据动能定理求出物体实际到达B点时的速度，由于实际速度大于最小速度，故物体到达B后做平抛运动，最后根据平抛运动的规律求出物体在平抛过程当中水平向的位移．
（2）要使小球通过最高点，则在最高点由重力充当向心力可求得速度；再对全过程由动能定理可求得水平距离．

解答 解：（1）小球向左运动的过程中小球做匀减速直线运动，故有
v_A²-v₀²=-2as                 
解得v_A=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2as}$=$\sqrt{49-2×3×4}$=5m/s
如果小球能够到达B点，则在B点的最小速度v_min，
故有mg=$\frac{m{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得v_min=$\sqrt{gR}$=2m/s
而小球从A到B的过程中根据机械能守恒可得
mgh+$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得v_B=3m/s
由于V_B＞v_min
故小球能够到达B点，且从B点作平抛运动，
在竖直方向有
2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
在水平方向有
s_AC=v_Bt            
解得：s_AC=1.2m
故AC间的距离为1.2m．
（2）要使小球不脱离轨道，则在最高点应有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v²=gR=0.4×10=4；
则设水平面上位移为x；
则应有：
-max-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得x=4.8m；
则要使物体能通过最高点，小球出发点距A点应小于4.8m；
答：（1）小球若从距A点4.0m的C点出发，落地点离A点1.2m
（2）要求小球能进入圆环轨道但不脱轨，小球在地面上的出发点离A点的距离小于等于4.8m．

点评 解决多过程问题首先要理清物理过程，然后根据物体受力情况确定物体运动过程中所遵循的物理规律进行求解，要注意明确恰好能到达半圆轨道的最高点是一种临界状态．