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精英家教网如图所示,竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨,宽度均为L=0.5m,上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻,虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B=2T的匀强磁场.完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上,金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好,电阻均为r=0.5Ω.将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内),金属杆2从磁场边界上方h0=0.8m处由静止释放,进入磁场后恰作匀速运动.(g取10m/s2)求:(1)金属杆的质量m;
(2)若金属杆2从磁场边界上方h1=0.2m处由静止释放,进入磁场下落一段距离后做匀速运动.在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热.求此过程中流过电阻R的电荷量q;
(3)若金属杆2仍然从磁场边界上方h1=0.2m处由静止释放,在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1,试求两根金属杆各自的最大速度.
分析:(1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动,由运动学公式求出进入磁场时的速度v,进入磁场后做匀速运动,重力与安培力平衡,E=BLv,I=
E
2r+R
、F=BIL,及平衡条件可求得m.
(2)金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动,速度大小仍等于v.根据能量守恒求出h2,由
.
E
=
△Φ
△t
=
BLh2
t2
.
I
=
.
E
2r+R
,q=
.
I
?t2
求出电量q.
(3)释放金属杆1后,两杆受力情况相同,且都向下加速运动,合力等于零时速度最大.根据平衡条件得到两杆速度之和.由于两个金属杆任何时刻受力情况相同,任何时刻两者量也相的加速度也都相同,在相同时间内速度的增同,根据速度增量相同,得到速度的关系,联立求解两杆的最大速度.
解答:解:(1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动,进入磁场的速度
vm=
2gh0
=4m/s

金属杆2进入磁场后切割磁感线,回路中产生感应电流,有
感应电动势E=BLvm,感应电流  I=
E
2r+R

金属杆恰做匀速运动,受安培力和重力平衡:mg=BIL
解出m=
B2L2vm
(2r+R)g
=
22×0.52×4
(2×0.5+1)×10
kg
=0.2kg                    
(2)金属杆2自由下落h1,进入磁场,做加速运动,设金属杆2在磁场内下降h2后达到匀速运动,在加速的过程中,部分机械能转化为电能产生电热,有
mg(h1+h2)=
1
2
m
v
2
m
+Q
可得         h2=
m
v
2
m
+2Q
2mg
-h
1=1.3m
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中
.
E
=
△?
△t
=
BLh2
△t
.
I
=
.
E
(2r+R)

解出流过电阻的电量  q=
.
I
?△t
=
BLh2
(2r+R)
=
2×0.5×1.3
(2×0.5+1)
C=0.65C        
(3)金属杆2刚进入磁场时的速度v=
2gh1
=
2×10×0.2
m/s=2m/s
金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后,回路中有感应电流,两杆都受安培力和重力,且受力情况相同,都向下做加速运动,随速度增大,感应电流增大,安培力增大,直到安培力和重力相等时,速度达到最大.
金属杆1和2产生的感应电动势为E1=BLv1,E2=BLv2
感应电流为 I=
E1+E2
2r+R

达到最大速度时杆的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到:v1+v2=
mg(2r+R)
B2L2

代入数据得v1+v2=4 m/s…①
因为两个金属杆任何时刻受力情况相同,因此任何时刻两者的加速度也都相同,在相同时间内速度的增量也必相同,即:v1-0=v2-v
代入数据得v2=v1+2…②
①②两式联立求出:v1=1m/s,v2=3m/s            
答:(1)金属杆2的质量m为0.2kg.
(2)流过电阻R的电量q为0.65C.
(3)两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s.
点评:本题是电磁感应与力学知识的综合,第3问关键是抓住两杆的加速度相同,任何时刻速度的增量相同这一隐含的条件分析两杆的速度关系.
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