Question

如图所示，平板车长L=6.0m，质量M=10kg，将其置于光滑水平面上，车的上表面距水平面h=1.25m．平板车在光滑水平面上以v₀=10m/s向右做匀速直线运动，某时刻对平板车施加一个方向水平向左、大小F₁=78N的恒力，与此同时，将一个质量m=1.0kg的木块轻放在平板车右端．F₁作用1.0s后，将力的大小改为F₂=422N（作用位置和施力方向均不变）．F₂作用一段时间后，木块脱离平板车落到平面上，在木块脱离平板车的瞬间撤去F₂．已知平板车与木块间的动摩擦因数μ=0.20，木块可视为质点，空气阻力可忽略不计．求：
（1）木块从离开平板车至落到水平面上所用的时间；
（2）在F₁作用的时间内，摩擦力对平板车做的功；
（3）木块落到水平面上时距离平板车右端的水平距离．

Answer 1

解：（1）木块离开平板车后，只受重力，在竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，设从木块离开平板车开始至落到光滑水平面上所用的时间为t，则有h=gt²
解得：t==0.50 s　　　　
（2）木块放到平板车右端后，木块和平板车沿水平方向受力情况如答图所示．

设此时平板车的加速度为a₁，木块的加速度为a₂根据牛顿第二定律，
对平板车与F₁+μmg=Ma₁
对木块有μmg=ma₂
解得：a₁=8.0 m/s²；a₂=2.0 m/s²　　　　
设将木块放到平板车右端后经过t₁时间木块和平板车达到共同速度，
则有v₀-a₁t₁=a₁t₁，
解得：t₁=1.0 s
此时间刚好是F₁作用的时间，设在这段时间内平板车的位移为x₁
则x₁=v₀t₁-a₁t²，解得：x₁=6.0 m　　　　
在F₁作用的时间内摩擦力对平板车做的功
W=-μmgx₁=-0.20×1.0×10×6.0 J=-120J　　　
（3）在F₁作用的时间内木块的位移为x₂=a₂t²=1.0 m
10 s末木块距离平板车右端的距离△x=L-x₂=5.0 m，如答图所示．

10s末平板车和木块具有相同的速度v=a₂t₁=2.0m/s
F₂开始作用后，木块的平板车沿水平方向受力的情况如答图所示．

木块做减速运动，其加速度大小不变，方向改变．
设此时平板车的加速度为a₃
根据牛顿第二定律，对平板车有F₂-μmg=Ma₃
解得：a₃=42 m/s²
设木块在速度减为零时，木块、平板车的位移分别为x₃、x₄，取水平向右的方向为正方向．
x₃=v²/2a₂=1.0 m，木块速度减为零所用时间t₂==1.0 s
所以x₄=vt₂-a₃t²=-19 m
因|x₄|＞△x说明木块在速度减为零之前已经从平板车的右端脱离．
在F₂作用t₃时间木块与平板车脱离，在这个过程中木块、平板车的位移分别为x₅、x₆，
木块的位移x₅=vt₃-a₂t²
平板车的位移x₆=vt₃-a₃ t²
由答图所示的几何关系可知x₅+|x₆|=△x，由此解得：t₃=0.50 s　　　　

木块离开平板车瞬间的速度v₁=v-a₂t₃=1.0 m/s
木块离开平板车后水平位移x₇=v₁t=0.50 m
木块离开平板车的瞬间平板车的速度v₂=v-a₃t₃=-19 m/s
木块离开平板车后平板车水平位移x₈=v₂t=-9.5 m
木块落到水平面上时距离平板车右端的水平距离x=x₇+|x₈|=10 m　　　
答：（1）木块从离开平板车至落到水平面上所用的时间为0.50s．
（2）在F₁作用的时间内，摩擦力对平板车做的功为120J．
（3）木块落到水平面上时距离平板车右端的水平距离为10m．
分析：（1）木块离开小车后在竖直方向上做自由落体运动，根据高度求出运动的时间．
（2）根据牛顿第二定律分别求出木块和平板车的加速度，判断出在1s内木块和小车的运动情况，结合运动学公式求出在在F₁作用的时间内，平板车的位移，从而求出摩擦力对平板车做的功．
（3）根据运动学公式，结合牛顿第二定律求出F₁作用的时间内木块的位移，以及木块距离平板车右端的距离．将力的大小改为F₂=422N（作用位置和施力方向均不变）．判断出平板车和木块的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．
点评：解决本题的关键理清木块和平板车的运动过程，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．