Question

19．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示．一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．（重力加速度为g）求：
（1）小球运动到B点时的动能
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为h=$\frac{R}{3}$时的速度大小
（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力N_B、N_C各是多大？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球运动到B点的动能．
（2）根据动能定理求出小球下滑到距水平轨道的高度为h=$\frac{R}{3}$时的速度大小．
（3）根据动能定理求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，在C点，根据平衡求出支持力的大小．

解答 解：（1）根据动能定理得：mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：E_kB=mgR．
（2）根据动能定理得：$mg（R-h）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$．
（3）根据mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
根据牛顿第二定律得：${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N_B=3mg．
运动到C点时，有：N_C=mg．
答：（1）小球运动到B点的动能为mgR．
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为h=$\frac{R}{3}$时的速度大小为$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$．
（3）所受轨道支持力N_B、N_C各是3mg、mg．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的基本运用，知道圆弧最低点向心力的来源，结合动能定理和牛顿第二定律综合求解．