Question

4．2017年4月22日12时23分，“天舟一号”与“天宫二号”顺利完成自动交会对接．“天舟一号”由“长征七号”运载火箭发射升空，送入近地圆轨道，然后在A点变轨进入接地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天舟一号”飞行几周后再次变轨进入预定圆轨道，并与“天宫二号”交会对接，如图所示，已知“天舟一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R．则下列说法正确的是（　　）

• A． “天舟一号”在近地圆轨道上运行速度大于在预定圆轨道上运行速度
• B． “天舟一号”在椭圆轨道上B点的速度大于在预定圆轨道上B点的速度
• C． “天舟一号”在椭圆轨道上经过A点和B点的速度之比为$\frac{R+h}{R}$
• D． 根据题目所给信息，可以计算出地球质量为$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出其运行速度表达式，根据半径关系得出其速度大小关系；
（2）由于“天舟一号”在椭圆轨道的B点的加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，进而可判断椭圆轨道上B点的速度与预定圆轨道上B点的速度的关系；
（3）根据开普勒第二定律求出天舟一号”在椭圆轨道上经过A点和B点的速度之比；
（4）地球对天舟一号的万有引力提供它绕地球做匀速圆周运动的向心力，由万有引力公式及向心力公式列方程，可以求出地球的质量．

解答 解：A、“天舟一号”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．
因为近地圆轨道半径小于预定圆轨道半径，所以v_近＞v_预，
即“天舟一号”在近地圆轨道上运行速度大于在预定圆轨道上运行速度，故A正确；
B、“天舟一号”在椭圆轨道的B点的加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，
故“天舟一号”在椭圆轨道的B点的速度小于在预定圆轨道的B点的速度，故B错误；
C、根据开普勒第二定律可得，v_Ar_A=v_Br_B，
则有：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}$=$\frac{R+h}{R}$，故C正确；
D、“天舟一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时为t，故周期为T=$\frac{t}{n}$，
根据万有引力提供向心力得，$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h），
联立以上两式可解得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，故D错误．
故选：AC．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式、牛顿第二定律、开普勒第二定律即可正确解题，难度不大．