Question

8．已知行星Kepler-186f绕恒星Kepler452做匀速圆周运动，其周期为T₁；某人造卫星在离地高度等于地球半径的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，其周期为T₂．恒星Kepler452的质量与地球的质量之比为p，行星Kepler-186f绕恒星Kepler452运动的轨道半径与地球半径之比为q，则T₁、T₂之比为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{{q}^{3}}{8p}}$
• B． $\sqrt{\frac{p}{8{q}^{3}}}$
• C． $\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$
• D． $\sqrt{\frac{p}{{q}^{3}}}$

Answer 1

分析 行星Kepler-186f绕恒星Kepler452做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求出周期${T}_{1}^{\;}$；人造卫星在离地高度等于地球半径的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求出${T}_{2}^{\;}$，求出比值

解答 解：设行星Kepler-186f质量为${m}_{186}^{\;}$，恒星Kepler452质量为${M}_{456}^{\;}$，行星Kepler-186f绕恒星Kepler452做匀速圆周运动轨道半径为${r}_{1}^{\;}$
根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{{M}_{452}^{\;}{m}_{186}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{186}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
解得：${T}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{M}_{452}^{\;}}}$…①
人造卫星在离地高度等于地球半径的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
解得：${T}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{M}_{地}^{\;}}}$…②
联立①②得：$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}×\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{452}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{q}_{\;}^{3}}{8}\frac{1}{p}}=\sqrt{\frac{{q}_{\;}^{3}}{8p}}$，故A正确，BCD错误；
故选：A

点评 本题关键是明确卫星的动力学原理，然后根据万有引力等于向心力列式分析，注意不是围绕同一中心天体运动的，要注意构建物理模型．