Question

12．如图所示，有一倾角θ=30°的斜面B，质量为M．质量为m的物体A静止在B上．现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止．对此过程下列说法正确的是（　　）

• A． 地面对B的支持力大于（M+m）g
• B． A对B压力的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$mg
• C． A所受摩擦力的最小值为0，最大值为$\frac{mg}{4}$
• D． A所受摩擦力的最小值为$\frac{1}{2}$mg，最大值为$\frac{3}{4}$mg

Answer 1

分析 对AB组成的整体受力分析，根据平衡条件判断地面对B的支持力，对A受力分析，根据垂直于斜面方向受力平衡结合牛顿第三定律，求出A对B压力的最小值和最大值，根据沿斜面方向受力平衡求出摩擦力的表达式，从而判断摩擦力的最大值和最小，注意摩擦力的方向可能向上，也可能向下．

解答 解：A、对AB组成的整体受力分析，整体受力平衡，竖直方向受到重力和地面对B的支持力，所以地面对B的支持力等于（M+m）g，故A错误；
B、对A受力分析，受到重力、支持力、拉力和摩擦力作用，
垂直于斜面方向有：N=mgcos30°+Fsin30°，当F=0时，N最小，最小为${N}_{min}=mgcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$，
当F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg时，N最大，最大为${N}_{max}=mgcos30°+\frac{\sqrt{3}}{2}mg×\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}mg$，
根据牛顿第三定律可知对B压力的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$mg，故B正确；
C、沿着斜面方向，当Fcos30°=mgsin30°即F=$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$时，摩擦力为零，
当F$＜\frac{\sqrt{3}}{3}mg$时，静摩擦力方向沿斜面向上，如图所示：

摩擦力f=mgsin30°-Fcos30°，当F=0时，f最大，f${\;}_{max}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg$，
当F$＞\frac{\sqrt{3}}{3}mg$，静摩擦力方向向下，
则摩擦力f′=Fcos30°-mgsin30°，当F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg时，f最大，$f{′}_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}mg=\frac{1}{4}mg$，
综上可知，所受摩擦力的最小值为0，最大值为$\frac{1}{2}$mg，故CD错误．
故选：B

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用共点力平衡进行求解，注意整体法和隔离法的运用，特别注意此过程中，A受到的静摩擦力的方向可能向上，也可能向下，难度适中．