Question

9．相距L=1m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m₁=1kg的金属棒ab和质量为m₂=0.02kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的磁感应强度B=1T，方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同． ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.4，两棒的电阻均为R=2Ω，其余电阻不计．ab棒在方向竖直向上的拉力F作用下，从静止开始沿导轨竖直向上做匀加速运动，加速度a=1m/s²，同时cd棒在竖直向下的磁场中也由静止释放．（g=10m/s²）求：
（1）当时间t=2s时拉力F的大小；
（2）当cd棒通过2C的电量时，其产生的热量为2.5J，则外力F需要做功为多少；
（3）判断cd棒将做怎样的运动，求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀，并在图2中定量画出cd棒所受摩擦力F_fcd随时间变化的图象．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛顿第二定律得到2s时拉力的大小；
（2）根据法拉第电磁感应定律以及平均电量的计算规律列式，再根据功能关系分析能量关系，从而求出拉力所做功．
（3）分析cd棒的运动情况：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．cd棒达到最大速度时重力与摩擦力平衡，而cd棒对导轨的压力等于安培力列式求出对应的时间，再根据运动过程画出对应的图象．

解答 解：（1）导体棒加速度为a=1m/s²，由速度公式可得：
v=at；
感应电动势E=BLv
电流I=$\frac{E}{2R}$
根据牛顿第二定律可得：
F-BIL-m₁g=m₁a
联立解得：
F=11.5N  
（2）电量q=$\overline It$
电流$\overline I=\frac{\overline E}{2R}$
根据法拉第电磁感应定律，平均电动势：
$\overline E=\frac{△ϕ}{△t}$
变化的磁通量△ϕ=BLx
x=$\frac{4R}{BL}$=$\frac{4×2}{1×1}$=8m
由速度和位移关系可得：
v²=2ax
根据功能关系可得：
2Q=W_克安
则拉力所做的功：W_F=m₁gx+2Q+$\frac{1}{2}{m_1}{v^2}$
联立解得：W_F=93J
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．当cd棒速度达到最大时，有：
m₂g=μF_N，
又F_N=F_安
而F_安=BIL
联立解得：m₂g=μBIL
对abcd回路，有：I=$\frac{E}{2R}=\frac{{BL{v_m}}}{2R}$，
得：v_m=$\frac{{2{m_2}gR}}{{μ{B^2}{L^2}}}$，
又v_m=at₀
代入数据解得：t₀=2s
f_cd随时间变化的图象如图所示．    
                            
答：（1）当时间t=2s时拉力F的大小为11.5N；
（2）当cd棒通过2C的电量时，其产生的热量为2.5J，则外力F需要做功为93J；
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动；cd棒达到最大速度所需的时间t₀为2s；图象如图所示．

点评 本题涉及两个导体棒在磁场中的运动，要注意其中的cd棒先受到滑动摩擦，后受到静摩擦，发生了突变，要仔细耐心分析这个动态变化过程．滑动摩擦力与安培力有关，呈现线性增大．