Question

5．如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为L的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°．现使小球以一定的角速度绕圆锥体的轴线在水平面内做圆周运动．
（1）当小球角速度ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3l}}$时，求细线对小球的拉力；
（2）当小球角速度ω₂=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$时，求细线对小球的拉力．

Answer 1

分析 （1）物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．
（2）当速度大于临界速度时，小球离开圆锥面，由重力和绳的拉力的合力提供向心力，再由牛顿第二定律求解．

解答 解：临界条件为圆锥体对小球的支持力 F_N=0…①
由牛顿第二定律可列出方程：mgtan30°=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{Lsin30°}$…②
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$…③
（1）因v₁=$Lsin30°•{ω}_{1}=\sqrt{\frac{gL}{6}}$＜v₀，F_N≠0，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律有：
T₁sinθ-N₁cosθ=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{Lsinθ}$…④
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0…⑤
解得：T₁=$\frac{（1+3\sqrt{3}）mg}{6}$，
（2）因v₂=Lsinθ•ω₂=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$＞v₀，物体离开斜面，对小球受力分析如图所示，设绳与竖直方向的夹角为α．
由牛顿第二定律得：T₂sinα=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{Lsinα}$…⑦
T₂cosα-mg=0…⑧
解得：T₂=2mg．
答：（1）细线的拉力为$\frac{（1+3\sqrt{3}）mg}{6}$；
（2）细线的拉力为2mg．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析受力，确定向心力的来源，并能够熟练运用牛顿第二定律求解．