Question

12．在如图所示电路中，电源电动势E=6.3V，内电阻r=0.50Ω．定值电阻R₁=2.0Ω，R₂=3.0Ω，R₃是最大电阻值为5.0Ω的滑动变阻器．接通开关K，调节滑动变阻器的触点，求通过电源的电流范围和电源输出的最大电功率．

Answer 1

分析 设滑动变阻器与R₁并联部分的电阻为R_右，根据电路的连接关系，推导出电路总电阻表达式，分析总电阻的最大值和最小值，即由闭合电路欧姆定律求得电源的电流最小值和最大值．由电源输出功率的表达式结合数学规律可明确对应的最大值．

解答 解：设R₃中与R₁串联的那部分电阻为x，外电路的结构是：x与R₁串联、（R₃-x）与R₂串联，然后这两串电阻再并联．
外电阻为$R=\frac{{（{R_1}+x）（{R_2}+{R_3}-x）}}{{{R_1}+R'+{R_2}+{R_3}-R'）}}=\frac{{（{R_1}+x）（{R_2}+{R_3}-x）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}$
根据数学知识可知，当两数和为定值时：若两数差值越大则其积越小，两数差值越小则其积越大，两数相等时其积最大．
要使通过电源的电流最小，外电阻应当最大．即当R₁+x₁=R₂+R₃-x₁时，R最大，
解得x₁=3Ω．                                                                 
外电路最大电阻为${R_大}=\frac{{（{R_1}+{x_1}）（{R_2}+{R_3}-{x_1}）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}=\frac{（2+3）（3+5-3）}{2+3+5}Ω=2.5Ω$
通过电源的最小电流为${I_小}=\frac{E}{{{R_大}+r}}=\frac{6.3}{2.5+0.5}V=2.1A$
要使通过电源的电流最大，外电阻应当最小．因为R₁=2Ω＜R₂=3Ω，所以当变阻器滑动头滑到R₃左端点时两部分电阻差值最大，此时x₂=0时，R最小．              
外电路的最小电阻为${R_小}=\frac{{{R_1}（{R_2}+{R_3}）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}=\frac{2×（3+5）}{2+3+5}Ω=1.6Ω$
通过电源的最大电流为${I_大}=\frac{E}{{{R_小}+r}}=\frac{6.3}{1.6+0.5}V=3.0A$
通过电源的电流范围为2.1A≤I≤3.0A                          
电源输出的电功率为$P={I^2}R={（\frac{E}{R+r}）^2}R=\frac{E^2}{{\frac{{{{（R-r）}^2}}}{R}+4r}}$
外电阻越接近内电阻，电源输出的电功率越大，当外电阻最小时，外电阻最接近于内电阻，此时电源输出的电功率最大，最大输出电功率为${P_大}=I_大^2{R_小}={3.0^2}×1.6W=11.4W$
答：通过电源的电流范围2.1A≤I≤3.0A；电源输出的最大电功率为11.4W．

点评 本题考查功率公式有闭合电路欧姆定律的应用；要注意运用数学上函数法求解极值，考查运用数学知识解决物理问题的能力．