Question

18．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨，导轨足够长，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻．将一根金属棒从导轨上的M处由静止释放．已知棒的长度为L，质量为m，电阻为r．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为g．
（1）分析金属棒的运动情况，并求出运动过程的最大速度v_m和整个电路产生的最大电热功率P_m
（2）若导体棒下落时间为t时，其速度为v_t（v_t＜v_m），求其下落高度h．

Answer 1

分析 （1）通过金属棒的受力情况来分析其运动情况．当安培力和重力相等时，金属棒做匀速运动，速度达到最大，由法拉第电磁感应定律E=BLv、闭合电路欧姆定律E=I（R+r）、安培力表达式F=BIL结合平衡条件，求得最大速度v_m．再由功率公式求整个电路产生的最大电热功率P_m．
（2）金属棒从开始下落到速度达到v_t的过程中，由动量定理列式，再将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△t，求得安培力的冲量，根据位移公式求其下落高度h．

解答 解：（1）金属棒向下运动切割磁感线，产生感应电流，受到向上的安培力，开始阶段，感应电流较小，金属棒所受的安培力较小，合力向下，随着速度的增大，感应电流增大，安培力增大，合力减小，则金属棒的加速度减小，金属棒做加速度减小的变加速运动；当安培力和重力相等时，金属棒做匀速运动．
由法拉第电磁感应定律 E=BLv
由闭合电路欧姆定律 I=$\frac{E}{R+r}$
由安培力表达式  F_安=BIL
联立得 F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
当F_安=mg 时，速度达到最大v_m，则得 ${v_m}=\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$
速度达到最大v_m时，感应电动势达到最大E_m，感应电流达到最大I_m，电路消耗的电功率达到最大P_m
则得  ${P_m}=I_m^2（R+r）$
解得 ${P_m}=\frac{{{m^2}{g^2}（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
（2）金属棒从开始下落到速度达到v_t的过程中，由动量定理得 mgt-I_安=mv_t
将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△t．
则安培力的冲量 I_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₁△t+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₂△t+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₃△t+…=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$（v₁△t+v₂△t+v₃△t+…）
下落高度 h=v₁△t+v₂△t+v₃△t+…
解得：$h=\frac{{m（gt-{v_1}）（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：
（1）金属棒的运动情况是先做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动．运动过程的最大速度v_m为，$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．整个电路产生的最大电热功率P_m是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）其下落高度h为$\frac{m（gt-{v}_{1}）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键要正确分析金属棒的受力情况，判断运动情况．要熟练推导安培力的表达式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$．第2题中金属棒做的是变加速运动，不能用运动学公式求下落的高度，要学会运用微元法求解．