题目内容
【题目】如图所示,在倾斜角为30°的光滑斜面上静止放置、
两个小球,它们的质量分别为
和
,它们的半径分别为
和
,它们之间用长为
的轻绳相连(图中未画出),开始时
、
紧靠在一起并锁定于斜面上的
处,在斜面上的
处固定一个开有小孔的挡板,小孔半径为
,
间距离为
,现解除对小球的锁定,让
、
一起从静止开始沿斜面下滑,
球无阻碍地通过小孔,而
球与挡板发生无机械能损失的碰撞,
球碰撞后沿斜面向上运动,
球仍沿斜面向下运动,轻绳绷紧瞬间(时间极短)两球达到共同速度
,已知两球半径远小于轻绳长度
,在计算时将
、
两球看做质点,斜面足够长,两小球始终在斜面上运动,
取
,求:
(1)小球、
从
点由静止开始一起沿斜面下滑到达挡板时的速度
的大小;
(2)若,连接
、
两球的轻绳绷紧瞬间,
、
两球共同速度
的大小和方向;
(3)若,试讨论两球共同速度
的方向与
值的关系。
【答案】(1)5m/s;(2),方向沿斜面向下;(3)见解析
【解析】
(1)一起下滑时根据动能定理有
代入数据得;
(2)与挡板发生碰撞反弹到绳刚好绷紧,根据受力分析可知两球的加速度为
,则有
这段过程中球的位移
球的位移
又因为
代入数据解得;绳绷紧前瞬间有
绳绷紧过程动量守恒,取斜面向下为正,有
当时解得
;故绳绷紧瞬间,
、
两球的共同速度
的大小为
,方向沿斜面向下;
(3)若
由(2)问可得
令,可得
,则讨论当
时,
,方向沿斜面向下;当
时,
;当
时,
,方向沿斜面向上。
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