Question

9．已知地球的半径是R=6400km，地球表面处的重力加速度g=9.8m/s²，地球自转的周期为T，由已知条件计算下面物理量：取$\sqrt{2}$=1.41
（1）求地球表面发射卫星的第一宇宙速度（保留三位有效数字）
（2）求同步地球卫星离地面的高度（用g、R、T表示）
（3）已知地球周围从距离球心r的位置到无穷远的过程中，物体克服地球引力做功的公式为W=GMm/r，并且物体克服地球引力恰好脱离地球的发射速度叫做第二宇宙速度，试计算第二宇宙速度（保留三位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力以及万有引力等于重力求出第一宇宙速度．
（2）根据万有引力提供向心力，抓住自转周期与同步卫星的周期相同，求出同步地球卫星离地面的高度．
（3）根据动能定理，结合第一宇宙速度的表达式求出第二宇宙速度．

解答 解：（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得卫星运行速度为：${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$…①
又因为在不考虑地球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
所以有GM=gR²…②
将 ②代入①可得：${v_1}=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8×6400×{{10}^3}}m/s=7.90×{10^3}m/s$．
（2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
可得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$…③
将②代入③可得：$h=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）依题意知物体克服地球引力恰好脱离地球发射，初速度即第二宇宙速度设为v₂，由动能定理得：$0-\frac{1}{2}m{v_2}^2=-G\frac{Mm}{{{R^{\;}}}}$
可得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
即：${v}_{2}=\sqrt{2}{v}_{1}=11.2×1{0}^{3}m/s$．
答：（1）地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.90×10³m/s；
（2）同步地球卫星离地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）第二宇宙速度为11.2×10³m/s．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．