Question

10．如图所示为用玻璃做成的一块棱镜的截面图，其中ABOD是矩形，OCD是半径为R=$\sqrt{6}$m的四分之一圆弧，圆心为O．一条光线从AB面上的某点入射，入射角θ₁=45°，它进入棱镜后恰好以临界角射在BC面上的O点．求：
①求该棱镜的折射率n；
②若已知BO=2m，求光从进入棱镜到射出棱镜所需时间． （已知光在空气中的传播速
度c=3.0×10⁸ m/s）

Answer 1

分析 ①光线射入棱镜后射在BC面上的O点，入射角等于临界角C，根据折射定律分别研究光线在AB面上的折射和在BC面的全反射，即可求解折射率．
②由公式v=$\frac{c}{n}$求出光在棱镜中的传播速度，由几何关系求出光在棱镜中的传播距离，即可求得光从进入棱镜到射出棱镜所需时间t．

解答 解：①由题，光线在BC面上O点恰好发生全反射，光路如图所示．
入射角等于临界角C，则有 sin C=$\frac{1}{n}$             
光线在AB界面上发生折射，折射角 r=90°-C
由几何关系得：sinr=cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
由折射定律得：n=$\frac{sini}{sinr}$
由以上几式联立解得：n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
②棱镜中光速 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{3×1{0}^{8}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\sqrt{6}$×10⁸ m/s   
所走路程：s=$\frac{BO}{sinC}$+R=n•BC+R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×2+$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$（m）
所需时间：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}×1{0}^{8}}$=2×10^-8（s）
答：
①该棱镜的折射率n是$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
②若已知BO=2m，光从进入棱镜到射出棱镜所需时间是2×10^-8s．

点评 本题是折射现象和全反射现象的综合，关键作出光路图，并要掌握全反射的条件和临界角公式，结合几何关系求解．