Question

9．传送带在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用，例如在港口用传送带运输货物，在机场上用传送带将地面上的行李传送到飞机上等，如图所示，一质量为m，电阻为R，边长为L的正方形单匝闭合金属线框随水平绝缘传送带以恒定速度v₀向右运动，通过一固定的磁感应强度为B，方向垂直于传送带平面向下的匀强磁场区域．已知磁场边界MN、PQ与传送带运动方向垂直，MN与PQ间的距离为d（L＜d），线框与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．金属框穿过磁场的过程中将与传送带产生相对滑动，且右侧边经过边界PQ时又恰好与传送带的速度相同，设传送带足够长，且金属框始终保持右侧边平行于磁场边界．求：
（1）线框的右侧边刚进入磁场时所受安培力的大小；
（2）线框在进入磁场的过程中运动加速度的最大值以及速度的最小值；
（3）线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据安培力的计算公式F=BIL结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求解；
（2）线框进入磁场时加速度最大，根据牛顿第二定律求解最大加速度；在线框完全进入磁场到右边到达PQ的过程中，根据动能定理求解最小的速度；
（3）根据动能定理求解进入过程中克服安培力做的功，由能量守恒定律求解线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热．

解答 解：（1）闭合铜线右边刚进入磁场时产生的感应电动势E=BLv₀，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$，
右侧边所受的安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）线框以速度v₀进入磁场，在进入磁场的过程中，受安培力而做减速运动；进入磁场后，在摩擦力作用下做加速运动，当其右侧边达到PQ时速度又恰好等于v₀，因此线框在刚进入磁场时，所受安培力最大，加速度最大，设为a_m，线框全部接入磁场时速度最小，设此时线框的速度为v；
根据牛顿第二定律可得：F-μmg=ma_m，
解得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}-μg$；
在线框完全进入磁场到右边到达PQ的过程中，根据动能定理可得：
μmg（d-L）=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）设线框在进入磁场区域的过程中，克服安培力做的功为W，根据动能定理可得：
μmgL-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：W=μmgd，
闭合线框出磁场与进入磁场受力情况相同，由能量守恒定律可得：
线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热Q=2W=2μmgd．
答：（1）线框的右侧边刚进入磁场时所受安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）线框在进入磁场的过程中运动加速度的最大值为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}-μg$，速度的最小值为$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热2μmgd．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．