Question

9．在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v₀匀速运动，已知P点为杆的中点，某一时刻杆AB与x轴的夹角为θ．关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式，下列说法中正确的是（　　）

• A． P点的运动轨迹是抛物线的一部分
• B． P点的运动轨迹是圆弧的一部分
• C． P点的速度大小为v=v₀tanθ
• D． P点的速度大小为$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$

Answer 1

分析 设P点坐标为（x，y），则A、B点的坐标分别为（0，2x）、（0，2y），AB长度一定，设为L，列式求解出x与y的关系式，即为P点的轨迹方程；P点的轨迹是圆，速度是切线方向，画出轨迹图，结合几何关系得到P点速度方向与杆的方向的夹角，P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等．

解答 解：A、B、设P点坐标为（x，y），则A、B点的坐标分别为（2x，0）、（0，2y），AB长度一定，设为L，根据勾股定理，有：
（2x）²+（2y）²=L²
解得：
x²+y²=（$\frac{L}{2}$）²
故P点的运动轨迹是圆弧，半径为$\frac{L}{2}$；故A错误，B正确；
C、D、画出运动轨迹，如图：

速度v与杆的夹角α=90°-2θ；
由于杆子不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，故：
vcosα=v₀cosθ
vcos（90°-2θ）=v₀cosθ
解得：
v=$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$，故C错误，D正确；
故选：BD．

点评 本题关键是采用运动的合成与分解的方法进行研究，找出点P的运动方向是关键，同时掌握圆的方程．