Question

5．如图所示，MN和PQ是竖直放置相距L=1m的光滑金属导轨（导轨足够长，电阻不计），其上方连有R₁=9Ω的电阻和两块水平放置相距d=20cm的平行金属板A、C，金属板长l=1m，将整个装置放置在图示的匀强磁场区域，磁感应强度B=1T．现使电阻R₂=1Ω的金属棒ab与导轨MN、PQ接触，并由静止释放，当其下落h=10m时恰能匀速运动，此时将一质量m₁=0.45g、带电荷量q=1.0×10^-4C的微粒放置在A、C金属板的正中央，恰好能保持静止．重力加速度g=10m/s²，运动中ab棒始终保持水平状态，且与导轨接触良好．求：
（1）微粒带何种电荷？ab棒的质量m₂为多少？
（2）ab棒自静止释放到刚好匀速运动的过程中，电路中释放多少热量？
（3）若使微粒突然获得竖直向下的初速度v₀，但运动过程中不能碰到金属板，对初速度v₀有何要求？该微粒发生x=$\frac{\sqrt{2}{m}_{1}{v}_{0}}{qB}$的位移需多长时间？

Answer 1

分析 （1）微粒恰好静止在金属板间，电场力与重力平衡，由平衡条件列式求出AC板间电压．ab棒向下匀速运动时，切割产生感应电动势，相当于电源，金属板间的电压等于电阻R₁两端的电压，由欧姆定律可求出电路中的感应电流．根据棒ab匀速运动，由安培力与重力平衡列式，即可求得ab棒的质量m₂．
（2）金属棒自静止释放到刚好匀速运动的过程中，损失的机械能转化为电路中的电能，根据能量守恒求解．
（2）使微粒突然获得竖直向下的初速度v₀，带电微粒将在正交的电磁场中做匀速圆周运动，运动半径不大于$\frac{d}{2}$，就碰不到金属板，由半径公式求初速度．根据位移，分析时间与周期的关系，求时间．

解答 解：（1）微粒带正电；因微粒静止，Eq=m₁g
又E=$\frac{U}{d}$得：q$\frac{U}{d}$=m₁g
解得：U=9V
根据欧姆定律得：U=IR₁
解得：I=1A
因棒能匀速运动，有：BIL₁=m₂g
把数据带入上各式得：m₂=0.1kg；
（2）释放多少热量等于损失的机械能，为：△E=mgh-$\frac{1}{2}$mv²
根据闭合电路的欧姆定律可得：BL₁v=I（R₁+R₂）
代入数据解得：△E=5J；
（3）带电微粒在正交的电磁场中做匀速圆周运动，运动半径不大于$\frac{d}{2}$，有：$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{qB}$$≤\frac{d}{2}$
解得：v₀≤$\frac{1}{45}$m/s
发生该位移的时间为：t=$\frac{T}{4}$
微粒圆周运动的周期为：T=$\frac{2π{m}_{1}}{qB}$
解得：t=$\frac{9π}{4}$s
粒子每转一周，都有两次同样大小的位移，所以微粒发生大小为$\frac{\sqrt{2}{m}_{1}{v}_{0}}{qB}$的位移时，需要的时间为：
t=9π•$（\frac{1}{4}+\frac{1}{2}n）$（n=0，1，2…）．
答：（1）微粒带正电；ab棒的质量m₂为0.1kg；
（2）ab棒自静止释放到刚好匀速运动的过程中，电路中释放5J热量；
（3）若使微粒突然获得竖直向下的初速度v₀，但运动过程中不能碰到金属板，初速度v₀≤$\frac{1}{45}$m/s；该微粒发生x=$\frac{\sqrt{2}{m}_{1}{v}_{0}}{qB}$的位移需的时间为9π•$（\frac{1}{4}+\frac{1}{2}n）$（n=0，1，2…）．

点评 本题是电磁感应与带电粒子在复合场中平衡和圆周运动的综合，关键要抓住它们之间的联系，并掌握电磁学的基本规律求解．