Question

15．简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一只绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．

（1）为什么必须匀速拖动纸带？
（2）刚开始计时时，振子处在什么位置？t=17s时振子相对平衡位置的位移是多少？
（3）若纸带运动的速度为2cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？
（4）振子在3s末负方向速度最大；在0或4s末正方向加速度最大；2.5s时振子正在向x负方向运动．
（5）写出振子的振动方程．

Answer 1

分析 （1）纸带匀速运动时，由x=vt知，位移与时间成正比；
（2）由图2直接读出位移，根据简谐运动的周期性分析t=17s时振子的位移．
（3）纸带做匀速运动，根据其运动与振子运动的同时性，求解振动图线上1、3两点间的距离．
（4）结合振动图象，即可判断出质点振动的特点，以及不同时刻的位移、运动方向等；
（5）由公式ω=$\frac{2π}{T}$，得到角频率ω，读出振幅A，则该振子简谐运动的表达式为x=Asinωt．

解答 解：（1）纸带匀速运动时，由x=vt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间；
（2）由图乙可知t=0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T=4s，t=17 s=$4\frac{1}{4}$T时位移为零；
（3）由x=vt，所以1、3 间距x=2 cm/s×2s=4 cm．
（4）3s末负方向速度最大；
加速度方向总是指向平衡位置，所以t=0或t=4s时正方向加速度最大；
t=2.5 s时，向-x方向运动；
（5）圆频率：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{2}rad/s$
所以振动方程为：$x=Asin（ωt-\frac{π}{2}）=10sin（\frac{π}{2}t-\frac{π}{2}）cm$．
答：（1）在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间；
（2）刚开始计时时，振子在平衡位置左侧最大位移处；t=17s时振子相对平衡位置的位移是0；
（3）若纸带运动的速度为2cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4cm；
（4）3，0或4，x负
（5）振子的振动方程为$x=10sin（\frac{π}{2}t-\frac{π}{2}）cm$．

点评 本题关键要能够从x-t图象得到物体的运动情况，图象上某点的切线斜率表示速度．同时要掌握振子简谐运动的一般表达式 x=Asin（ωt+φ₀），知道根据三个要素：振幅A、角频率ω和初相位φ₀，即可求得简谐振动方程．