题目内容

5．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题：
（1）由于两个物体相对位置的变化引起的引力场的能量变化（与某一零位置相比）．称作为这一对物体的引力势能，则万有引力势能可由此式算：EP=-$\frac{GMm}{r}$（设无穷远处Ep=0）式中M、m分别代表两个物体的质量，r物体中心距离，G为万有引力常量．
（2）处于某一星体表面的物体只要有足够大的速度就能够摆脱该星体的引力飞到无穷远，这一速度就叫做星体的逃逸速度．
（3）大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度跟地球相同，直径为太阳250倍的发光星体，由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速，这一奇怪的黑体就叫做黑洞．
（4）以下是太阳的有关数据．在下列问题中，把星体（包括黑洞）看做是一个质量分布均匀的球体．
 太阳的半径 R日=7×105km=110R地球
 太阳的质量 M日=2×1030kg=3.33×105M地球
 平均密度 ρ日=1.4×103kg/m3=$\frac{1}{4}$ρ地球
 自传周期 赤道附近26天，两极附近长于30天
①如果地球的质量为M地，半径为R地，试计算地球的逃逸速度；若物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为7.9km/s，则物体摆脱地球引力的逃逸速度为多大？
②试估算太阳表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值．
③已知某星体演变为黑洞时质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径rg
④若太阳最终可以演变为黑洞，则它演变为黑洞时的临界半径rg为多少米？

分析 由能量守恒，要逃逸地球其总机械能与无穷远处相同为0，则由 $\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  求得逃逸速度的表达式，再由其表达式确定临界半径的值，
代入太阳质量即可求得太阳成为黑洞时的临界半径rg的值．

解答 解：（1）地球的逃逸速度要满足：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  则v=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$=$\sqrt{2}$×7.9=11.2Km/s
     （2）由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$  得$\frac{{g}_{日}}{{g}_{地}}$=$\frac{{M}_{日}}{{M}_{地}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{日}^{2}}$=$\frac{333}{12}$
     （3）光速为C：由逃逸速度为v=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$  则C=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$    求得：rg=$\frac{2GM}{{C}^{2}}$
     （4）将太阳质量代入：rg=$\frac{2G{M}_{日}}{{C}^{2}}$=$\frac{2×6.67×1{0}^{-11}×2×1{0}^{30}}{（3×1{0}^{8}）^{2}}$=2.96×103m
答：①物体摆脱地球引力的逃逸速度为11.2Km/s．
②太阳表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值为$\frac{333}{12}$
③该星体演变为黑洞时的临界半径rg为$\frac{2GM}{{C}^{2}}$
④若太阳最终可以演变为黑洞，则它演变为黑洞时的临界半径rg为2.96×103m．

点评 考查对逃逸速度的理解，明确由能量守恒，要逃逸地球其总机械能与无穷远处相同为0，则由 $\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  求得逃逸速度的表达式即可．

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