Question

19．在如图所示的x-o-y坐标系中，y＞0的区域内存在着沿y轴正方向、场强为E的匀强电场，y＜0的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的P（0，h）点以沿x轴正方向的初速度射出，恰好能通过x轴上的D（d，0）点．己知带电粒子的质量为m，带电量为-q．h、d、q均大于0．不计重力的影响．
（1）若粒子只在电场作用下直接到达D点，求粒子初速度的大小v₀；
（2）若粒子在第二次经过x轴时到达D点，求粒子初速度的大小v₀
（3）若粒子经过电场和磁场运动后能到达D点，求粒子初速度大小v₀应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）粒子只在电场作用下直接到达D点，粒子做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求粒子初速度v₀；
（2）若粒子在第二次经过x轴时到达D点，先经过电场偏转，后进入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，由几何知识求出圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的速度，结合类平抛运动，求初速度．
（3）若粒子在从电场进入磁场时到达D点，粒子在电场和磁场中做周期性运动，画出轨迹，由几何关系求得半径通项，再求解磁场中速度通项，即可求出初速度．

解答 解：（1）粒子只在电场作用下直接到达D点，设粒子在电场中运动的时间为t，粒子沿x方向做匀速直线运动，则有：x=v₀t…①
沿y方向做初速度为0的匀加速直线运动，则有：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
加速度为：a=$\frac{qE}{m}$…③
粒子只在电场作用下直接到达D点的条件为：x=d…④
联立①②③④得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$
（2）粒子在第二次经过x轴时到达D点，其轨迹如右图所示．设粒子进入磁场的速度大小为v，v与x轴的夹角为θ，轨迹半径为R，则
  vsinθ=at…⑤
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑥
粒子第二次经过x轴时到达D点的条件为：x-2Rsinθ=d…⑦
解①②③⑤⑥⑦得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$   
（3）粒子在从电场进入磁场时到达D点，其轨迹如右图所示．
根据运动对称性可知：QN=2OM=2 x                         
粒子在从电场进入磁场时到达D点的条件为：
x+n（2x-2Rsinθ）=d…⑧
其中n为非负整数．
联立①②③⑤⑥⑧得：v₀=$\frac{d}{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$ 
答：（1）若粒子只在电场作用下直接到达D点，粒子初速度的大小v₀为d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$．
（2）若粒子在第二次经过x轴时到达D点，粒子初速度的大小v₀为d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$．
（3）若粒子在从电场进入磁场时到达D点，粒子初速度的大小v₀为$\frac{d}{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握平抛运动和圆周运动的基本公式，并结合几何关系解题．