Question

15．如图所示，两根质量均为m=2kg的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间有大小相等但左右两部分方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，今用250N的水平力F向右拉CD棒，在CD棒运动0.5m的过程中，CD棒上产生的焦耳热为30J，此时两棒速率之比为v₁：v₂=1：2，立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：
（1）在CD棒运动0.5m的过程中，AB棒上产生的焦耳热；
（2）撤去拉力F瞬间，棒速度v_A和v_c；
（3）撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度v_A′和v_C′．

Answer 1

分析 （1）根据焦耳定律，AB棒和CD棒电流相等，焦耳热和电阻成正比，CD棒产生的焦耳热已知，即可求出AB棒产生的焦耳热；
（2）根据能量守恒定律，外力F做的功等于两棒增加的动能和回路增加的总的焦耳热；
（3）最终两棒匀速，电路电流为0，两棒产生的感应电动势大小相等，得出两棒速度大小关系，对AB棒和CD棒分别运用动量定理即可求解；

解答 解：（1）两棒的长度分别为l和2l，所以电阻分别为R和2R，由于电路在任何时刻电流均相等，根据焦耳定律：$Q={I}_{\;}^{2}Rt$，所以AB棒的焦耳热为15J；
（2）根据能量守恒定律有：$Fs=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+{Q}_{1}^{\;}+{Q}_{2}^{\;}$
又${v}_{A}^{\;}：{v}_{C}^{\;}=1：2$
故有${v}_{A}^{\;}=4m/s$         ${v}_{C}^{\;}=8m/s$
（3）撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，此时两棒的速度满足：
即：$BL{v}_{A}^{′}=B•2L{v}_{C}^{′}$
即${v}_{A}^{′}=2{v}_{C}^{′}$
对两棒分别应用动量定理，有：，
${F}_{A}^{\;}t=m{v}_{A}^{′}-m{v}_{A}^{\;}$           
$-{F}_{C}^{\;}t=m{v}_{C}^{′}-m{v}_{C}^{\;}$
因为：F_C=2F_A
-$\frac{{v}_{A}^{′}-{v}_{A}^{\;}}{{v}_{C}^{′}-{v}_{C}^{\;}}=-\frac{1}{2}$
故有：$\frac{{v}_{A}^{′}-{v}_{A}^{\;}}{{v}_{C}^{′}-{v}_{C}^{\;}}=-\frac{1}{2}$
联立以上各式解得：${v}_{A}^{′}=6.4m/s$，v′_C=3.2m/s
答：（1）在CD棒运动0.5m的过程中，AB棒上产生的焦耳热15J；
（2）撤去拉力F瞬间，棒速度${v}_{A}^{\;}$为4m/s，${v}_{C}^{\;}$为8m/s；
（3）撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度${v}_{A}^{′}$为6.4m/s，${v}_{C}^{′}$为3.2m/s．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，应用了能量转化与守恒定律，动量定理，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．