Question

19．如图所示，倾角为θ=37°的斜面固定在水平地面上，劲度系数为k=40N/m的轻弹簧与斜面平行，弹簧下端固定在斜面底端的挡板上，弹簧与斜面间无摩擦．一个质量为m=5kg的小滑块从斜面上的P点由静止滑下，小滑块与斜•面间的动摩擦因数为μ=0.5，P点与弹簧自由端Q点间的距离为L=1m．已知整个过程弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能E_p与其形变量x的关系为E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小滑块从P点下滑到Q点时所经历的时间t；
（2）小滑块运动过程中达到的最大速度υ_m的大小；
（3）小滑块运动到最低点的过程中，弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）小滑块从P点下滑到Q点过程做匀加速运动，由牛顿第二定律求加速度，再由运动学公式求运动时间；
（2）当小滑块的合力为0时，速度最大，由功能关系求最大速度；
（3）由题意可知物体在下降中由功能关系可明确最大压缩量；再根据E_Pm=$\frac{1}{2}$kx₂²求弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）小滑块从P点下滑到Q点过程做匀加速运动，
由牛顿第二定律可得：mgsin37°-μmgcos37°=ma
由运动学公式可得：L=$\frac{1}{2}$at²
代入数据联立解得：t=1s．
（2）当小滑块的合力为0时，速度最大，设此时弹簧压缩量为x₁，则
当合力为0时有：mgsin37°=μmgcos37°+kx₁
由功能关系可得：mgsin37°•（L+x₁）-μmgcos37°•（L+x₁）-$\frac{1}{2}$kx₁²=$\frac{1}{2}$mv_m²-0
代入数据联立解得：x₁=0.25m，v_m=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$m/s．
（3）小滑块运动到最低点时，速度减为0，设此时弹簧压缩量为x₂，则
由功能关系可得：mgsin37°•（L+x₂）-μmgcos370•（L+x₂）-$\frac{1}{2}$kx₂²=0-0
解得：x₂=$\frac{\sqrt{33}-5}{4}$m
所以弹簧的最大弹性势能为：E_Pm=$\frac{1}{2}$kx₂²=$\frac{5（\sqrt{33}-5）^{2}}{4}$J
答：（1）小滑块从P点下滑到Q点时所经历的时间为1s；
（2）小滑块运动过程中达到的最大速度的大小为$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$m/s；
（3）小滑块运动到最低点的过程中，弹簧的最大弹性势能为$\frac{5（\sqrt{33}-5）^{2}}{4}$J．

点评 本题主要考查了动能定理及能量守恒定律的直接应用，关键要能正确分析物体的运动情况，知道什么时候动能最大，能熟练运用能量守恒定律列式研究．