Question

20．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，以初速度v₀沿曲面冲上高0.8m、顶部水平的高台，若摩托车冲上高台的过程中始终以额定功率1.8kW行驶，经过1.2s到达平台顶部，到达顶部后立即关闭发动机油门，人和车落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，人和车经过A点时的速度是v_A=5.0m/s，已知圆弧半径为R=1.0m，θ=106°，人和车的总质量为180kg，特技表演的全过程中不计一切阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求
（1）人和车到达顶部平台时的速度v₁；
（2）人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．
（3）人和车速度v₀．

Answer 1

分析 （1）人和车离开顶部平台后做平抛运动，由下落的高度求出到达A点时竖直分速度，根据A点的速度与水平方向的夹角为53°，求解速度v₁和A点的速度v₂．
（2）从A到O，由机械能守恒定律求出O点的速度，再由牛顿定律求人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．
（3）对人和车上坡的过程，运用动能定理求人和车速度v₀．

解答 解：（1）人和车平抛过程，到达A点时竖直分速度 v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
根据tan53°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，得 v₁=3m/s
A点的速度 v₂=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
（2）从A到O，由机械能守恒定律得：
   mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在O点，由牛顿第二定律得
   F-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$
联立解得 F=7740N
由牛顿第三定律可知，人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力 F′=F=7740N，方向竖直向下．
（3）对人和车上坡的过程，运用动能定理得
  pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=1m/s
答：
（1）人和车到达顶部平台时的速度v₁是5m/s．
（2）人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力是7740N，方向竖直向下．
（3）人和车速度v₀是1m/s．

点评 解决本题的关键是将整个过程分成三个子过程研究，抓住隐含的条件，如到达A点速度方向与水平方向成53°，运用平抛运动的规律求速度是关键．