Question

4．如图所示，透明三棱镜ABC的折射率n=$\sqrt{2}$，∠B=60°，∠C=45°．AC面的右边有一足够长且与AC面平行的光屏．一束光以45°入射角从AB面的中点射入．已知BC长为L，光在真空中传播速度为c，sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，求：
（1）光进入AB面的折射角，并判断该光能否打到光屏上；
（2）光从AB面射入到第一次射出所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据折射定律求得光进入AB面的折射角，作出光路图，根据几何知识求出光在AC面上的入射角，与临界角C比较，判断光能否发生全反射，即可知道该光能否打到光屏上；
（2）由几何知识求出光在三棱镜中传播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光在三棱镜中传播的速度，即可求得光从AB面射入到第一次射出所用的时间．

解答 解：（1）设光进入AB面的折射角为r．
由光折射定律有 n=$\frac{sin45°}{sinr}$
解得 r=30°
作出光在三棱镜中的光路图如图所示，根据三角形的边角关系知，折射光线DE与BC边平行，所以光射到AC面上的入射角为 i=45°
设三棱镜的临界角为C，由sinC=$\frac{1}{n}$知，C=45°，则光线在AC面上发生全反射，然后垂直BC面射出，所以该不能打到光屏上；
（2）设光在三棱镜中的传播速度为v，则有 v=$\frac{c}{n}$
根据正弦定理有 $\frac{AE}{sin60°}$=$\frac{DE}{sin75°}$
且 AE=EC
则 EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC=$\frac{\sqrt{2}Lsin60°}{4sin75°}$
因为 DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$L
所以光从AB面射入到第一次射出所用的时间 t=$\frac{DE+EF}{v}$
联立解得 t=$\frac{（5\sqrt{2}-\sqrt{6}）L}{4c}$
答：
（1）光进入AB面的折射角是30°，该光不能打到光屏上；
（2）光从AB面射入到第一次射出所用的时间是$\frac{（5\sqrt{2}-\sqrt{6}）L}{4c}$．

点评 本题中当光线从三棱镜射向空气时，就要根据入射角与临界角的关系，判断出光线能否发生全反射，而入射角可以根据几何知识求出．