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精英家教网如图所示，半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，过最低点的半径OC处于竖直位置，在其右方有一可绕竖直轴MN（与圆弧轨道共面）转动的，内部空心的圆筒，圆筒半径r=0.1
5
m，筒的顶端与C点等高，在筒的下部有一小孔，距筒顶h=0.8m，开始时小孔在图示位置（与圆弧轨道共面）．现让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落，打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬间的碰撞过程中小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A点、B点到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角θ均为30°，不计空气阻力，g取l0m/s2．试问：
（1）小物块到达C点时的速度大小是多少？
（2）圆筒匀速转动时的角速度是多少？
（3）要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长 L至少为多少？
分析：（1）根据自由落体运动求出小球运动到B点的速度，将B点的速度沿径向和切向分解，得出切向方向的速度，再根据机械能守恒定律求出小物块在C点的速度大小．
（2）小物块离开C点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，抓圆筒在该段时间内转动的角度为2nπ（n=1，2，3，…），求出圆筒转动的角速度．
（3）根据圆筒的直径求出物块在圆筒中运行的时间，从而得出平抛运动的总时间，根据平抛运动竖直方向上的运动规律求出物体下降的高度，即筒身的至少长度．
解答：解：（1）根据vB2=2gR得，
vB=
2×10×0.8
=4m/s．
vB初=vBsin60°=4×
3
2
=2
3
m/s．
根据机械能守恒定律得：
1
2
mvC2=mgR(1-cos60°)+
1
2
mvB初2
代入数据解得vc=2
5
m/s．
（2）由h=
1
2
gt12得，t1=
2h
g
=0.4s
则ω=
2nπ
t1
=
2nπ
0.4
=5nπ   （n=1，2，3，…）                  
（3）t2=
2r
vC
=
2×0.1
5
2
5
s=0.1s
L=
1
2
g(t1+t2)2=
1
2
×10×(0.4+0.1)2=1.25m．
答：（1）小物块到达C点时的速度大小是2
5
m/s．
（2）圆筒匀速转动时的角速度是5nπ（n=1，2，3，…）                  
（3）要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长 L至少为1.25m．
点评：解决本题的关键知道平抛运动水平方向和竖直方向上的运动规律，以及抓住圆周运动的周期性求出圆筒的角速度．
练习册系列答案
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（1）若小球刚好落到A点，求小车运动到O′点的速度．
（2）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大．
（3）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围．
（2005?广东）如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A．一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点．求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）．
如图所示，半径R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定，轨道末端水平，其右方有横截面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与轨道最低点B等高，下部有一小孔，距 顶端h=0.8m，转筒的轴线与圆弧轨道在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一平面内的图示位置．现使一质量m=0.1kg的小物块自最高点A由静止开始沿圆弧轨道滑下，到达轨道最低点B时转筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．不计空气阻力，g取l0m/s2，求：
（1）小物块到达B点时对轨道的压力大小；
（2）转筒轴线距B点的距离L；
（3）转筒转动的角速度ω
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A、v0≤4m/s可以使小球不脱离轨道
B、v0≥4
2
m/s可以使小球不脱离轨道
C、设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为24N
D、设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为20N
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13
，（sin37°=0，6，cos37°=0.8，g=l0m/s2），求：
（1）小物块Q的质量m2；
（2）剪断细线，物块P第一次过M点的速度大小；
（3）剪断细线，物块P第一次过M点后0.3s到达K点（未画出），求MK间距大小；
（4）物块P在MN斜面上滑行的总路程．

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