Question

如图所示，半径r=0.8m的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一质量为0.4kg的小球（小球的半径比r小很多）．现给小球一个水平向右的初速度v₀，下列关于在小球的运动过程中说法正确的是（g取10m/s²）（　　）

• A、v₀≤4m/s可以使小球不脱离轨道
• B、v₀≥4

  2

  m/s可以使小球不脱离轨道
• C、设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为24N
• D、设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最低点与最高点对轨道的压力之差为20N

Answer 1

分析：要使小球不脱离轨道运动，有两种情况：一是能越过最高点．二是不越过四分之一圆周．小球经过最高点和最低点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律、牛顿第三定律和机械能守恒结合求出压力之差．

解答：解：A、B最高点的临界情况：重力恰好提供向心力，则有：mg=m

v2

r

，解得：v=

gr

根据动能定理得，-mg?2r=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

v2+4gr

=

5gr

=

5×10×0.8

=2

10

m/s．
若不通过四分之一圆周，根据动能定理有：
-mgr=0-

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

2gr

=

2×10×0.8

m/s=4m/s
故要使小球不脱离轨道v₀≤4m/s，或v₀≥5m/s
所以v₀≥5m/s或v≥2

10

m/s，故A正确，B错误．
C、D设小球能在圆轨道中做完整的圆周运动，在最高点时，
由牛顿第二定律得：mg+N₁=m

v 2 1

r

；①
在最低点：N₂-mg=m

v 2 2

r

；②
从最高点到最低点过程，根据机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+2mgr=

1

2

m

v

2 2

；③
联立①②③得：△N=N₂-N₁=6mg=6×0.4×10N=24N，即小球在最低点与最高点对轨道的支持力之差为24N，根据牛顿第三定律得知压力之差也为24N．故C正确，D错误．
故选：AC

点评：解决本题的关键知道小球在内轨道运动最高点的临界情况，以及能够熟练运用动能定理．