题目内容

16．如图，O、M、N为同一平面内的三点，∠MON=60°，OM=a，ON=3a．现加一匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直△OMN所在平面向外，将一质量为m、电荷量为+q的粒子以一定的初动能从O点垂直ON向右射出，粒子恰能通过M点．在△OMN所在平面再加一匀强电场，场强方向与平面平行，若以同样的初动能从O点沿某一方向射出上述粒子，该粒子通过了M点，到达M点的动能是初动能的5倍；将该粒子以同样的初动能沿另一方向射出，恰好通过N点，到达N点时的动能为初动能的7倍．不计粒子的重力．求：
（1）仅存在磁场时粒子从O运动到M点的时间；
（2）电场强度的大小和方向．

分析 （1）根据几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据周期公式，结合圆心角的大小求出粒子从O运动到M点的时间；
（2）根据半径公式求出粒子的初速度，从而得出粒子的初动能．根据动能定理求出OM和ON间电势差的关系，在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的，通过几何关系作出等势线，抓住电场线和等势线垂直得出电场强度的方向．根据电势差的大小及两点沿电场线方向的距离求出电场强度的大小．

解答 解：（1）设粒子的初速度为v0，在磁场中做圆周运动的圆心为O1，半径为r，
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
由几何关系可知r=a，
$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$，
$t=\frac{60°}{360°}T$，
解得t=$\frac{πm}{3qB}$．
（2）粒子的初动能${E}_{k0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{2m}$，
加电场后，粒子从O点到M点和N点，由动能定理得，
qUOM=5Ek0-Ek0，
qUON=7Ek0-Ek0，
在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的，设直线ON上的S点与M点等电势，S点与O点的距离为x，
$\frac{x}{3a}=\frac{{U}_{OM}}{{U}_{0N}}$，
解得x=2a，SM为等势线，电场线必与其垂直，由几何关系可知，OM⊥SM，
即电场强度的方向沿OM方向，
设电场强度的大小为E，有qEa=qUOM，
解得E=$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$．
答：（1）仅存在磁场时粒子从O运动到M点的时间为$\frac{πm}{3qB}$．
（2）电场强度的大小$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$，电场强度的方向沿OM方向．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，对于粒子在磁场中的运动，关键确定圆心、半径和圆心角，结合几何关系进行求解．对于第二问，通过动能定理得出电势差的关系，结合几何关系确定出等势线是解决的关键．

练习册系列答案
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C．“格利泽581d”的第一宇宙速度为$\sqrt{2}$v
D．“格利泽581d”的第一宇宙速度为$\sqrt{3}$v
1．滑板爱好者由静止开始沿一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v，则到达斜坡底端时的速度为（　　）
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