Question

8．如图所示xOy平面内，在x轴上从电离室产生的带正电的粒子，以几乎为零的初速度飘入电势差为U=200V的加速电场中，然后经过右侧极板上的小孔沿x轴进入到另一匀强电场区域，该电场区域范围为-l≤x≤0（l=4cm），电场强度大小为E=$\sqrt{3}$×10⁴V/m，方向沿y轴正方向．带电粒子经过y轴后，将进入一与y轴相切的圆形边界匀强磁场区域，磁场区域圆半径为r=2cm，圆心C到x轴的距离为d=4$\sqrt{3}$cm，磁场磁感应强度为B=8×10^-2T，方向垂直xoy平面向外．带电粒子最终垂直打在与y轴平行、到y轴距离为L=6cm的接收屏上．求：
（1）带电粒子通过y轴时离x轴的距离；
（2）带电粒子的比荷；
（3）若另一种带电粒子从电离室产生后，最终打在接收屏上y=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$cm处，则该粒子的比荷又是多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做为类平抛运动，由运动的合成和分解规律可求得偏转位移；
（2）根据粒子在电场中的运动明确粒子进入磁场时的速度大小及方向，再由洛仑兹力充当向心力可明确比荷；
（3）由题意明确半径及运动图象，再由洛仑兹力充当向心力可求得比荷．

解答 解：（1）带电粒子在加速电场中被加速 qU=$\frac{1}{2}$mv₀²                    
通过沿y轴正方向的电场中时，在x方向上做匀速运动l=v₀t
在y方向做初速度为零的匀加速运动，加速度为a=$\frac{Eq}{m}$  
在y方向的位移为 y₁=$\frac{1}{2}$at² 
由以上各式解得 y₁=$\frac{E{l}^{2}}{4U}$ 
代入数据得  y₁=2$\sqrt{3}$×10^-2m                        
（2）由（1）中公式可得 v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
带电粒子通过y轴时沿y轴方向的速度为v_y=at  
如图所示，速度方向满足 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ 
由以上各式解得  tanα=$\frac{El}{2U}$
代入数据得 tanα=$\sqrt{3}$
则可知α=60° 
带电粒子通过y轴时的速度大小为v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=2v₀  
由 tan∠PCA=$\frac{d-{y}_{1}}{r}$=$\sqrt{3}$；
可得：∠PCA=60°
可见，带电粒子通过y轴时的速度方向指向C点．           
所以带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，转过的圆心角为α=60°．    
 带电粒子圆周运动的半径为  
R=rcot$\frac{α}{2}$=$\sqrt{3}$r=2$\sqrt{3}$×10^-2
洛伦兹力提供向心力 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
解得$\frac{q}{m}$=$\frac{8U}{{B}^{2}{R}^{2}}$=$\frac{8U}{3{B}^{2}{r}^{3}}$  
代入数据得$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{3}$×10⁸C/kg  

（3）由（1）（2）知，带电粒子经过y轴时的位置和速度方向与比荷无关，所以另一种带电粒子也将以指向C点的方向进入到匀强磁场区域．轨迹如图所示．
粒子从磁场中射出时的速度方向满足tan∠NCM=$\frac{d-y}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 
可得∠NCM=30°
此带电粒子在磁场中转过的角度为α′=60°+30°=90° 
其圆周运动的半径为R′=r 
同理有 $\frac{q′}{m′}$=$\frac{8U}{{B}^{2}R{′}^{2}}$=$\frac{8U}{{B}^{2}{r}^{2}}$                                 
代入数据得$\frac{q′}{m′}$=1×10⁸C/kg

解：（1）带电粒子通过y轴时离x轴的距离2$\sqrt{3}$×10^-2m；
（2）带电粒子的比荷$\frac{1}{3}$×10⁸C/kg  
（3）若另一种带电粒子从电离室产生后，最终打在接收屏上y=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$cm处，则该粒子的比荷1×10⁸C/kg

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动情况，要注意明确粒子的运动轨迹；明确带电粒子在电场中采用运动的合成与分解求解；而在磁场中要注意明确圆周运动的规律应用，注意几何关系及洛仑兹力与向心力的关系．