Question

（18分）如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,滑板两端为半径R="0.45" m
的1/4圆弧面,A和D分别是圆弧的端点,BC段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑块P₁和P₂的质量均为m,滑板的质量M=4m.P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,开始时滑板紧靠槽的左端,P₂静止在粗糙面的B点。P₁以v₀="4.0" m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P₂发生弹性碰撞后,P₁停在粗糙面B点上,当P₂滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连,P₂继续滑动,到达D点时速度为零,P₁与P₂可视为质点,取g="10" m/s²。问：

（1）P₂在BC段向右滑动时,滑板的加速度为多大？
（2）BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后,P₁与P₂间的距离为多少？

Answer 1

（1）（2）1.9m      0.695m

试题分析：　(1) P₂在BC段向右滑动时，P₁停在粗糙面B点上。将N、P₁看作整体，根据牛顿第二定律得：
  ①
  ②
(2)设P₁到达B点的速度为v，P₁从A点到达B点的过程中，根据动能定理有：
 ③
代入数据得 ④
因P₁、P₂质量相等且发生弹性碰撞，所以碰后P₁、P₂交换速度，即碰后P₂在B点的速度为：
 ⑤
设P₂在C点的速度为，P₂从C点到D点过程中根据动能定理得：
        ⑥
代入数据得        ⑦
P₂从B点到C点的过程中，N、P₁、P₂作为一个系统所受合外力为零，系统动量守恒，设P₂到达C点时N和P₁的共同速度为.根据动量守恒定律得：
      ⑧
v′为滑板与槽的右端粘连前滑板和P₁的共同速度．对P₂从B点到C点相对地面位移为由动能定理
       ⑨
P₁ 和N作为一个整体，相对地面位移为，根据动能定理则有
         ⑩
联立⑧⑨⑩得BC长度
        ?
滑板与槽粘连后，P₁在BC上移动的距离为，根据动能定理
         ?
P₂在D点滑下后，在BC上移动的距离，根据动能定理有
         ?
联立得系统完全静止时P₁与P₂的间距     ?
⑥⑧⑨⑩各2分，其余各1分