Question

9．我国的航空航天事业取得了巨大成就．2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在月球上的虹湾区成功实现软着陆．“嫦娥三号”在着陆前经历了发射入轨、地月转移、环月飞行等一系列过程，右图为“嫦娥三号”的飞行轨道示意图．当“嫦娥三号”在环月段上做匀速圆周运动时，运行轨道距离月球表面的高度为H，已知月球的质量为M，“嫦娥三号”的质量为m，月球半径为R_月，引力常量G．忽略月球自转影响．求“嫦娥三号”在环月段上做匀速圆周运动时：
（1）与月球之间的万有引力；
（2）运行速度；
（3）运行周期．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力定律，即可求解；
（2）依据牛顿第二定律，结合万有引力提供向心力，列出$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{{{R_月}+H}}$表达式，即可求解；
（3）根据牛顿第二定律，结合万有引力提供向心力，列出$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（{R_月}+H）$表达式，即可求解．

解答 解：
（1）根据万有引力定律${F_万}=G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}$
（2）根据牛顿第二定律$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{{{R_月}+H}}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{{{R_月}+H}}}$
（3）根据牛顿第二定律$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（{R_月}+H）$
解得 $T=2π\sqrt{\frac{{{{（{R_月}+H）}^3}}}{GM}}$
答：（1）与月球之间的万有引力$\frac{GMm}{（{R}_{月}+H）^{2}}$；
（2）运行速度$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{月}+H}}$；
（3）运行周期$2π\sqrt{\frac{（{R}_{月}+H）^{3}}{GM}}$．

点评 本题关键是要知道“嫦娥三号”绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供，并且要能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式．