Question

【题目】儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力。某弹珠游戏可简化成如图所示的竖直平面内OABCD透明玻璃管道，管道的半径较小。为研究方便建立平面直角坐标系，O点为抛物口，下方接一满足方程yx2的光滑抛物线形状管道OA；AB、BC是半径相同的光滑圆弧管道，CD是动摩擦因数μ＝0.8的粗糙直管道；各部分管道在连接处均相切。A、B、C、D的横坐标分别为xA＝1.20m、xB＝2.00m、xC＝2.65m、xD＝3.40m。已知，弹珠质量m＝100g，直径略小于管道内径。E为BC管道的最高点，在D处有一反弹膜能无能量损失的反弹弹珠，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g＝10m/s2，求：

（1）若要使弹珠不与管道OA触碰，在O点抛射速度ν0应该多大；

（2）若要使弹珠第一次到达E点时对轨道压力等于弹珠重力的3倍，在O点抛射速度v0应该多大；

（3）游戏设置3次通过E点获得最高分，若要获得最高分在O点抛射速度ν0的范围。

Answer 1

【答案】（1）3m/s（2）2m/s（3）2m/s＜ν0＜2m/s

【解析】

（1）由yx2得：A点坐标（1.20m，0.80m）

由平抛运动规律得：xA＝v0t，yA

代入数据，求得 t＝0.4s，v0＝3m/s；

（2）由速度关系，可得 θ＝53°

求得AB、BC圆弧的半径 R＝0.5m

OE过程由动能定理得：

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）

解得 v0＝2m/s；

（3）sinα0.5，α＝30°

CD与水平面的夹角也为α＝30°

设3次通过E点的速度最小值为v1．由动能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v1＝2m/s

设3次通过E点的速度最大值为v2．由动能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣4μmgxCDcos30°＝0

解得 v2＝6m/s

考虑2次经过E点后不从O点离开，有

﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v3＝2m/s

故 2m/s＜ν0＜2m/s