Question

【题目】如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离h＝1.6m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：

(1)物体第一次通过C点时，物体对轨道C点的压力大小；

(2)要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；

(3)若斜面已经满足第(2)问要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道上做周期性运动，求在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q

Answer 1

【答案】（1）12.4N（2）2.4m（3）4.8J．

【解析】

（1）物体从E到C，由机械能守恒得：

①

在C点，由牛顿第二定律得：

②

联立①②解得支持力

FN=12.4N③

（2）从E～D～C～B～A过程，由动能定理得

WG-Wf=0④

WG=mg[（h+Rcos37°）-LABsin37°]⑤

Wf=μmgcos37°LAB⑥

联立④⑤⑥解得斜面长度至少为：

LAB=2.4m⑦

（3）因为，mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以物体不会停在斜面上．物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动．
从E点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量

Q=△EP⑧

△EP=mg（h+Rcos37°） ⑨

联立⑥、⑦解得

Q=4.8J ⑩

在运动过程中产生热量为4.8J．