Question

4．如图所示，足够长的斜面倾角θ=30°，斜面底端A点与一半径为R的光滑半圆轨道平滑连接，半圆轨道的直径与地面垂直．已知小物体与斜面间的动摩擦因数为μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，重力加速度为g．
（1）若小物体在斜面上从与圆心O等高的位置由静止释放，则小物体第一次滑到A点所用的时间为多少？
（2）在（1）的情况下，小物体在斜面上滑行的总路程为多少？
（3）要使小物体能通过圆轨道最高点B，求小物体在斜面上由静止释放的高度．

Answer 1

分析 （1）物块滑动到B点过程中，根据牛顿第二定律求出加速度，再由运动学公式求出到达A点时的时间．
（2）由于小物体在斜面上从与圆心O等高的位置由静止释放，所以物体在圆轨道上运动的过程中不能脱离圆轨道，到达最高点后仍然沿原路返回，最后物块的机械能全部转化为内能，由功能关系即可求出物体的总位移．
（3）要使小物体能通过圆轨道最高点B，在物体在最高点的向心力要大于等于重力，然后结合牛顿第二定律与机械能守恒即可正确解答．

解答 解：（1）物块沿斜面下滑过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑加速度为a，到达斜面底端B时的时间为t，则：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
则得：a=g（sinθ-μcosθ）=10×（sin30°-$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$×cos30°）=2.5（m/s²）
物体的位移：$L=\frac{R}{sin30°}=2R$
由$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2×2R}{a}}=2\sqrt{\frac{2R}{5}}$
（2）由题意可知，最后物块的机械能全部转化为内能，由功能关系得：μmgcosθS=mgR
整理得：S=4R
（3）要使小物体能通过圆轨道最高点B，在物体在最高点的向心力要大于等于重力，即：$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}≥mg$
从释放到到达B的过程中，由机械能守恒得：$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}=mg2R+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立以上方程得：h=3R
答：（1）若小物体在斜面上从与圆心O等高的位置由静止释放，则小物体第一次滑到A点所用的时间为$2\sqrt{\frac{2R}{5}}$；
（2）小物体在斜面上滑行的总路程为4R；
（3）要使小物体能通过圆轨道最高点B，小物体在斜面上由静止释放的高度是3R．

点评 本题关键对物体的运动情况分析清楚，然后运用牛顿第二定律、运动学和机械能守恒定律列式求解；同时要知道，能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决．