Question

1．如图所示，质量为1.9kg的长木板A放在水平地面上，在长木板最右端放一个质量为1kg小物块B，物块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.4，在r=0时刻A、B均静止不动．现有质量为100g的子弹，以初速度为v₀=120m/s射入长木板并留在其中．物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．取重力加速度的大小g=10m/s²．求：
（1）木板开始滑动的初速度；
（2）从木板开始滑动时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小；
（3）长木板与地面摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）对子弹射入长木板的过程分析，以子弹和长木板组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律即可求得开始时木板滑动的初速度；
（2）分别对A、B及整体进行分析，由牛顿第二定律可求得对应的加速度，分析A、B两物体何时发生相对滑块，求出此时的速度大小，再对各物体受力分析，求出对应的加速度，再根据运动学公式分析求解对应的位移大小，从而求出相对位移；
（3）根据热量等于摩擦力与相对位移间的乘积进行分析，从而求出对应的热量．

解答 解：（1）子弹射入木块过程，以子弹和长木板组成的系统为研究对象，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：
m_Cv₀=（m_A+m_C）v₁
代入数据解得：木板开始滑动的初速度为：v₁=6m/s；
（2）子弹射入长木板之后，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木块具有共同速度为止，由牛顿第二定律，对物块有：
 μ₁m_Bg=m_Ba_B
代入数据解得：a_B=2m/s²；
对长木板有：μ₂（m_A+m_B+m_C）g+μ₁m_Bg=（m_A+m_C）a_A
代入数据解得：a_A=7m/s²
设t₁时，两者有速度相同v₂，则有：
v₂=v₁-a_At₁=a_Bt₁
代入数据解得：t₁=$\frac{2}{3}$s，v₂=$\frac{4}{3}$m/s
在t₁时刻后，假设物块与木板相对静止，它们之间的摩擦力大小为f，物块和木板的加速度大小为a'，则由牛顿第二定律，对物块有：
f=m_Ba'
对整体有：μ₂（m_A+m_B+m_C）g=（m_A+m_B+m_C）a'
解得：f=4N大于物块和木板之间的最大摩擦力
所以在t₁时刻后，两者发生了相对滑动，由牛顿第二定律，对物块有：μ₁m_Bg=m_Ba′
代入数据解得：a_B′=2m/s²；
对物块有：μ₂（m_A+m_B+m_C）g-μ₁m_Bg=（m_A+m_C）a_A′
代入数据解得：a_A′=5m/s²
由运动学公式可推知物体相对于地面的运动距离为：x_B=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{B}}$+$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{B}′}$
代入数据解得：x_B=$\frac{8}{9}$m；
木块相对于地面的运动距离为：x_A=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$t₁+$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{A}′}$
代入数据解得：x_A=$\frac{118}{45}$m；
物块相对于木板位移大小为：△x=x_A-x_B=$\frac{118}{45}$-$\frac{8}{9}$=$\frac{78}{45}$m
（3）长木板与地面摩擦产生的热量为：Q=μ₂（m_A+m_B+m_C）gx_A=0.4×（1.9+1+0.1）×10×$\frac{118}{45}$=$\frac{472}{45}$J；
答：（1）木板开始滑动的初速度为6m/s；
（2）从木板开始滑动时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小为$\frac{78}{45}$m；
（3）长木板与地面摩擦产生的热量为$\frac{472}{45}$J．

点评 本题关键明确木块和木板的运动情况和受力特点，根据牛顿第二定律求解出加速度后根据运动学公式规律联立求解，注意动量守恒定律的应用，本题的复杂在于运动过程的分析，要注意细心分析各物体的运动规律以及受力特点，这是解题的关键．