Question

7．一传送带装置示意图如图所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形 （圆弧由光滑模板组成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱以相等间距排列，相邻两箱的距离为L．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N．此装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动．不计轮轴处的摩擦．求：

（1）传送带的运行速度大小；
（2）电动机的平均输出功率P．

Answer 1

分析 本题涉实际生活、图形信息和复杂情境，给人以无从下手的感觉．其实，本题条件是较明显的，在题设情境下首先将小货箱视为质点，然后分清小货箱在传送带的运动过程，以及这些过程中涉及哪些能量的转化．这样将复杂涉实际情境的问题还原成了熟悉的典型运动问题

解答 解：（1）小货箱先在水平面上获得与皮带同速，在斜面上作匀减速直线运动至少到顶速度为0，距离为：s=$\frac{h}{sinθ}$，又v₀²=2as，
货箱在斜面上作匀减速直线运动，加速度为：
a=gsinθ-μgcosθ
故皮带速度至少为：V₀=$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
（2）以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，其末速度等于传送带的速度，设这段时间内小货箱通过的位移为s，所用的时间为t，加速度为a，则对小货箱有
s=$\frac{1}{2}$at²                                                        ①
v₀=at                                                          ②
在这段时间内，传送带运动的路程为
s₀=v₀t                                                          ③
由以上各式得
s₀=2s                                                           ④
用f表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为
W₁=fs=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                     ⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×$\frac{1}{2}$mv₀²                                                 ⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                          ⑦
可见，在小货箱加速运动过程中，小货箱获得的动能与系统因相对运动产生的热量相等．
T时间内，电动机输出的功为
W=$\overline{P}$T                                                            ⑧
此功用于增加小货箱的动能、重力势能以及克服摩擦力产生热量，即
W=$\frac{1}{2}$Nmv₀²+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相邻两小箱的距离为L，所以在T时间内运送的小货箱的个数N，
则V₀T=（N-1）L                                                     　 ⑩
联立⑦⑧⑨⑩式，得
$\overline{P}$=$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）
答：①皮带速度为$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
②电动机的平均输出功率为$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）．

点评 题目看似很难，实际上是由一些简单的题目综合而成的，故在遇到难题时不要紧张，更不能放弃，要心平气和的分析题目已知条件和求解之间的关系，从而最终解决问题